3.1. 线性回归 — 动手学深度学习 2.0.0-beta1 documentation

3.1 线性回归

3.1.1 线性回归的基本元素

3.1.1.2 损失函数

3.1.1.3 解析解

3.1.1.4 随机梯度下降

3.1.2 矢量化加速

3.2 线性回归从零开始实现

3.3 线性回归的简洁实现

3.4 softmax回归

分类和回归

独热编码（one-hot encoding）：

置信度：

损失函数

L2 loss(均方损失)

L1 loss

Huber 's Robust Loss

softmax：

交叉熵：

3.5 图像分类数据集

3.6 softmax回归的从零开始实现

3.1 线性回归

3.1.1 线性回归的基本元素

训练数据集（training data set）或训练集（training set）:

想要开发一个具有一定功能的模型，必须要有大量的相关事例作为数据集，这些事例就是训练集。有了这一些事例，就可以根据自变量和因变量之间的关系来作为模型预测的依据。

样本（sample）：

每组数据就是样本，也可以称为数据点（data point）或数据样本（data instance）。

标签（label）或目标（target）：试图预测的目标。

特征（feature）或协变量（covariate）：预测所依据的自变量。

3.1.1.1 线性回归模型

b称为偏置（bias）、偏移量（offset）或截距（intercept） 不可缺少的

w称为权重（weight）

数据集的意义是帮我们找到相对合适的b和w

即使确信特征与标签的潜在关系是线性的，我们也会加入一个噪声项来考虑观测误差带来的影响。

3.1.1.2 损失函数

3.1.1.3 解析解

一点点高数和线代知识

对以上求导，由于凸函数的性质，当导数为0时，损失最小，解的为

3.1.1.4 随机梯度下降

当没有解析解（显示解）时的优化方法

步长怎么找？

没看懂

3.1.2 矢量化加速

3.2 线性回归从零开始实现

生成数据集

X = torch.normal(0, 1, (num_examples, len(w)))

均值为0，方差为1，n个样本，列数为w

y += torch.normal(0, 0.01, y.shape)

同理，均值为0，方差为0.01，形状同y的长度

这里加的就是随机噪音，这段代码每次运行的结果都不一样

输出第一个样本

detach作用是把数据从计算图里面拎出来，然后再转numpy

读取数据集

def data_iter(batch_size, features, labels):num_examples = len(features)          #确定样本数量indices = list(range(num_examples))   #range()表示从0 - n-1，list()表示转成list格式# 这些样本是随机读取的，没有特定的顺序random.shuffle(indices)               #把下标随机打乱for i in range(0, num_examples, batch_size):  #表示从0到n，每次跳batch_size个大小batch_indices = torch.tensor(indices[i: min(i + batch_size, num_examples)])yield features[batch_indices], labels[batch_indices] #每次产生随机特征和标号
batch_size = 10for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):print(X, '\n', y)break

初始化模型参数

w = torch.normal(0, 0.01, size=(2,1), requires_grad=True)  #requires_grad计算梯度
b = torch.zeros(1, requires_grad=True)  #1表示直接就是个标量，一个数，同样计算梯度

定义模型

def linreg(X, w, b):  #@save"""线性回归模型"""return torch.matmul(X, w) + b

定义损失函数

def squared_loss(y_hat, y):  #@save"""均方损失"""return (y_hat - y.reshape(y_hat.shape)) ** 2 / 2

定义优化算法

def sgd(params, lr, batch_size):  #params给定的所有参数，lr学习率，batch_size指的是批每次跳过的量"""小批量随机梯度下降"""with torch.no_grad():  #更新的时候不需要计算梯度for param in params:param -= lr * param.grad / batch_size #自动求导param.grad.zero_()

训练

lr = 0.03    #学习率
num_epochs = 3   #整个数据扫3遍
net = linreg   #之前定义的模型linreg，便于以后更换模型
loss = squared_loss    #均方损失for epoch in range(num_epochs):for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):l = loss(net(X, w, b), y)  # X和y的小批量损失# 因为l形状是(batch_size,1)，而不是一个标量。l中的所有元素被加到一起，# 并以此计算关于[w,b]的梯度l.sum().backward()   #求和之后算梯度sgd([w, b], lr, batch_size)  # 使用参数的梯度更新参数with torch.no_grad():train_l = loss(net(features, w, b), labels)print(f'epoch {epoch + 1}, loss {float(train_l.mean()):f}')#每一遍扫完后损失就会越来越小print(f'w的估计误差: {true_w - w.reshape(true_w.shape)}')
print(f'b的估计误差: {true_b - b}')

学习率小还能多跑几遍，学习率过大直接超出浮点运算范围了（nan=not a number）

3.3 线性回归的简洁实现

生成数据集

import numpy as np
import torch
from torch.utils import data
from d2l import torch as d2ltrue_w = torch.tensor([2, -3.4])
true_b = 4.2                         #形成真实的w和b
features, labels = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, 1000)

读取数据集

def load_array(data_arrays, batch_size, is_train=True):  #@save"""构造一个PyTorch数据迭代器"""dataset = data.TensorDataset(*data_arrays)return data.DataLoader(dataset, batch_size, shuffle=is_train)#每次从中挑选batch_size个数据出来，shuffle表示需不需要打乱顺序，is_train则表示需要batch_size = 10
data_iter = load_array((features, labels), batch_size)#如果已经有了features, labels，把它做成list，传到dataset
next(iter(data_iter))  #通过next函数得到x和y

定义模型

# nn是神经网络的缩写
from torch import nnnet = nn.Sequential(nn.Linear(2, 1))
#nn.Linear(2, 1)指的是输入维度为2，输出维度为1
#Sequential是一个容器，用来装层（层数多时非常有用）

初始化模型参数

net[0].weight.data.normal_(0, 0.01) #normal指使用正态分布替换掉data的值
net[0].bias.data.fill_(0)   #bias指偏差，这里直接置零

定义损失函数

loss = nn.MSELoss()   #MSELoss类

定义优化算法

trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.03)
#net.parameters()包括所有参数，这里包括w和b

训练

num_epochs = 3   #迭代3个周期
for epoch in range(num_epochs):for X, y in data_iter:l = loss(net(X) ,y)trainer.zero_grad()   #trainer预设器梯度清零l.backward()          #计算backwardtrainer.step()        #调用step函数来更新模型l = loss(net(features), labels)print(f'epoch {epoch + 1}, loss {l:f}')w = net[0].weight.data
print('w的估计误差：', true_w - w.reshape(true_w.shape))
b = net[0].bias.data
print('b的估计误差：', true_b - b)

3.4 softmax回归

分类和回归

回归是一个连续值（房价分析）

分类预测一个类别（手写数字识别）

分类输出的个数等于类别的个数

独热编码（one-hot encoding）：

独热编码是一个向量，它的分量和类别一样多。类别对应的分量设置为1，其他所有分量设置为0。在我们的例子中，标签y将是一个三维向量，其中(1,0,0)对应于“猫”、(0,1,0)对应于“鸡”、(0,0,1)对应于“狗”：

置信度：

【看完这篇就够了！！！通俗易懂】置信度理解（95%的置信度、置信区间）_醪糟小丸子的博客-CSDN博客_95%置信度

置信度：以测量值为中心，在一定范围内，真值出现在该范围内的几率。一般设定95%，是通常情况下置信度（置信水平）的设定值。
置信区间：在某一置信度下，以测量值为中心，真值出现的范围。一定概率下真值的取值范围（可靠范围）称为置信区间。其概率称为置信概率或置信度（置信水平）。

我的理解是

样本数目不变的情况下，做一百次试验，有95个置信区间包含了总体真值。置信度为95%

损失函数

L2 loss(均方损失)

正好在求导后抵消

L1 loss

预测值和真实值较远时，不管多远，梯度都是常数+/- 1

优点：稳定性好

缺点：零点是尖点，不可导。优化到末期，结果会变得不稳定

Huber 's Robust Loss

预测值和真实值差距大时，绝对值大于1时，为绝对值误差，梯度为常数

预测值和真实值差距小时，误差函数像高斯函数，是线性的

这样兼具了L1 L2的优点

大概理解就是这样了

这里没怎么看懂，应该是基础知识欠缺的原因，等我学了概率论再来看

softmax：

想要使得输出是一个概率

y和^y的区别作为损失，此时所有都是概率

指数的好处在于无论是什么数都能变成非负

个人理解：softmax算出来的就是置信度

交叉熵：

没懂为啥这么算

一文搞懂交叉熵在机器学习中的使用，透彻理解交叉熵背后的直觉_史丹利复合田的博客-CSDN博客

额，还是没懂

3.5 图像分类数据集

MNIST数据集

Fashion-MNIST数据集

%matplotlib inline
import torch
import torchvision
from torch.utils import data
from torchvision import transforms
from d2l import torch as d2ld2l.use_svg_display()  #李沐老师写的包，用svg画图

读取数据集

# 通过ToTensor实例将图像数据从PIL类型变换成32位浮点数格式，
# 并除以255使得所有像素的数值均在0到1之间
trans = transforms.ToTensor()  #把图片转成张量
mnist_train = torchvision.datasets.FashionMNIST(root="../data", train=True, transform=trans, download=True) #把数据集下载到上一级目录的data里面，train=True表示下载的是训练数据集#transform=trans表示图片拿出来要是个pytorch的tensor#download=True表示默认从网上下载
mnist_test = torchvision.datasets.FashionMNIST(root="../data", train=False, transform=trans, download=True)#mnist_test测试数据集，用来验证模型好坏#train=False 这就是说不下载训练数据集
len(mnist_train), len(mnist_test)  #图片数量mnist_train[0][0].shape
#mnist_train[][].shape 第一个[]表示第一个例子，第二个[]表示第一个图片
#这里试了一下发现好像都是黑白图片def get_fashion_mnist_labels(labels):  #@save"""返回Fashion-MNIST数据集的文本标签"""text_labels = ['t-shirt', 'trouser', 'pullover', 'dress', 'coat','sandal', 'shirt', 'sneaker', 'bag', 'ankle boot']return [text_labels[int(i)] for i in labels]def show_images(imgs, num_rows, num_cols, titles=None, scale=1.5):  #@save"""绘制图像列表"""figsize = (num_cols * scale, num_rows * scale)_, axes = d2l.plt.subplots(num_rows, num_cols, figsize=figsize)axes = axes.flatten()for i, (ax, img) in enumerate(zip(axes, imgs)):if torch.is_tensor(img):# 图片张量ax.imshow(img.numpy())else:# PIL图片ax.imshow(img)ax.axes.get_xaxis().set_visible(False)ax.axes.get_yaxis().set_visible(False)if titles:ax.set_title(titles[i])return axesX, y = next(iter(data.DataLoader(mnist_train, batch_size=18)))
#构建python的iterater(迭代器)，用next取小批量
show_images(X.reshape(18, 28, 28), 2, 9, titles=get_fashion_mnist_labels(y));
#2，9表示画两行，每行9张图片

读取小批量

训练前要先看读取有多块，以读取速度来决定训练速度

读取速度要比训练速度快很多

batch_size = 256def get_dataloader_workers():  #@save"""使用4个进程来读取数据"""return 4train_iter = data.DataLoader(mnist_train, batch_size, shuffle=True,num_workers=get_dataloader_workers())timer = d2l.Timer() #定义timer函数来测量速度
for X, y in train_iter:continue
f'{timer.stop():.2f} sec'

整合所有组件

def load_data_fashion_mnist(batch_size, resize=None):  #@save"""下载Fashion-MNIST数据集，然后将其加载到内存中"""trans = [transforms.ToTensor()]if resize:trans.insert(0, transforms.Resize(resize))trans = transforms.Compose(trans)mnist_train = torchvision.datasets.FashionMNIST(root="../data", train=True, transform=trans, download=True)mnist_test = torchvision.datasets.FashionMNIST(root="../data", train=False, transform=trans, download=True)return (data.DataLoader(mnist_train, batch_size, shuffle=True,num_workers=get_dataloader_workers()),data.DataLoader(mnist_test, batch_size, shuffle=False,num_workers=get_dataloader_workers()))train_iter, test_iter = load_data_fashion_mnist(32, resize=64)
for X, y in train_iter:print(X.shape, X.dtype, y.shape, y.dtype)break

3.6 softmax回归的从零开始实现

import torch
from IPython import display
from d2l import torch as d2lbatch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)#训练集和测试集的迭代器

初始化模型参数

num_inputs = 784  #先粗暴的把图片信息拉成向量28*28=784，损失掉的信息要用之后的神经网络
num_outputs = 10  #模型有10个类，所以输出维度为10W = torch.normal(0, 0.01, size=(num_inputs, num_outputs), requires_grad=True)#size=(num_inputs, num_outputs)形状，行数为num_inputs 784，列数num_outputs 10
b = torch.zeros(num_outputs, requires_grad=True) #对于每一个输出都有偏移，长为num_outputs的向量

定义softmax操作

X = torch.tensor([[1.0, 2.0, 3.0], [4.0, 5.0, 6.0]])#2*3 的矩阵
X.sum(0, keepdim=True), X.sum(1, keepdim=True)#维度为0，列向量求和，得到行向量1*3；维度为1，行向量求和，得到列向量2*1def softmax(X):X_exp = torch.exp(X)partition = X_exp.sum(1, keepdim=True)return X_exp / partition  # 这里应用了广播机制#此时做一些验证
X = torch.normal(0, 1, (2, 5)) #两行五列的矩阵，且所有值都是正的
X_prob = softmax(X)
X_prob, X_prob.sum(1) #按行来加，每行和为1

定义模型

def net(X):return softmax(torch.matmul(X.reshape((-1, W.shape[0])), W) + b)#-1表示自己算一下这里批量大小，之前设定过256，W.shape[0]=784#加偏移b是通过广播机制

定义损失函数

y = torch.tensor([0, 2])
y_hat = torch.tensor([[0.1, 0.3, 0.6], [0.3, 0.2, 0.5]])#[0.1, 0.3, 0.6]为y0，[0.3, 0.2, 0.5]为y1
y_hat[[0, 1], y] #对第0样本拿出y0对应的元素，第1样本拿出y1对应的元素#所以最后输出值为0.1和0.5#y0拿出0对应的0.1，y1拿出2对应的0.5

感谢b站大学

def cross_entropy(y_hat, y):return - torch.log(y_hat[range(len(y_hat)), y])#生成长度n的向量，拿出真实标号的预测值cross_entropy(y_hat, y)  #这里求交叉熵
#y_hat是2*3的预测值，y是长为2的向量

分类精度

def accuracy(y_hat, y):  #@save"""计算预测正确的数量"""if len(y_hat.shape) > 1 and y_hat.shape[1] > 1:y_hat = y_hat.argmax(axis=1) #每行元素值最大的那个下标存y_hat里cmp = y_hat.type(y.dtype) == y #把y_hat转成y的数据类型，然后作比较，变成bool型tensorreturn float(cmp.type(y.dtype).sum())accuracy(y_hat, y) / len(y)
#找出来预测正确的样本数，除以y的长度，求出预测正确的概率
#这里结果是0.5，因为都是随机生成的def evaluate_accuracy(net, data_iter):  #@save"""计算在指定数据集上模型的精度"""if isinstance(net, torch.nn.Module):net.eval()  # 将模型设置为评估模式metric = Accumulator(2)  # 正确预测数、预测总数with torch.no_grad():for X, y in data_iter:metric.add(accuracy(net(X), y), y.numel())#每次先把x放到net里算出评测值#accuracy(net(X), y)预测正确的样本数#这里求了总样本数return metric[0] / metric[1]#得到精度class Accumulator:  #@save"""在n个变量上累加"""def __init__(self, n):self.data = [0.0] * ndef add(self, *args):self.data = [a + float(b) for a, b in zip(self.data, args)]def reset(self):self.data = [0.0] * len(self.data)def __getitem__(self, idx):return self.data[idx]evaluate_accuracy(net, test_iter)

由于都是随机生成，开始设置有10个类别，所以结果接近于0.1

训练

def train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater):  #@save"""训练模型一个迭代周期（定义见第3章）"""# 将模型设置为训练模式if isinstance(net, torch.nn.Module):net.train()  #告诉pytorch，要计算梯度# 训练损失总和、训练准确度总和、样本数metric = Accumulator(3)  #长度为3的迭代器for X, y in train_iter:# 计算梯度并更新参数y_hat = net(X)l = loss(y_hat, y)  #交叉熵损失函数if isinstance(updater, torch.optim.Optimizer):#如果updater是pytorch中Optimizer，就先梯度置零# 使用PyTorch内置的优化器和损失函数updater.zero_grad()l.mean().backward()updater.step()  #自更新else:# 使用定制的优化器和损失函数l.sum().backward()   #先做求和再算梯度updater(X.shape[0])metric.add(float(l.sum()), accuracy(y_hat, y), y.numel())# 返回训练损失和训练精度return metric[0] / metric[2], metric[1] / metric[2]#这里主要是画图，没看懂，再学学
class Animator:  #@save"""在动画中绘制数据"""def __init__(self, xlabel=None, ylabel=None, legend=None, xlim=None,ylim=None, xscale='linear', yscale='linear',fmts=('-', 'm--', 'g-.', 'r:'), nrows=1, ncols=1,figsize=(3.5, 2.5)):# 增量地绘制多条线if legend is None:legend = []d2l.use_svg_display()self.fig, self.axes = d2l.plt.subplots(nrows, ncols, figsize=figsize)if nrows * ncols == 1:self.axes = [self.axes, ]# 使用lambda函数捕获参数self.config_axes = lambda: d2l.set_axes(self.axes[0], xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend)self.X, self.Y, self.fmts = None, None, fmtsdef add(self, x, y):# 向图表中添加多个数据点if not hasattr(y, "__len__"):y = [y]n = len(y)if not hasattr(x, "__len__"):x = [x] * nif not self.X:self.X = [[] for _ in range(n)]if not self.Y:self.Y = [[] for _ in range(n)]for i, (a, b) in enumerate(zip(x, y)):if a is not None and b is not None:self.X[i].append(a)self.Y[i].append(b)self.axes[0].cla()for x, y, fmt in zip(self.X, self.Y, self.fmts):self.axes[0].plot(x, y, fmt)self.config_axes()display.display(self.fig)display.clear_output(wait=True)def train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, updater):  #@save"""训练模型（定义见第3章）"""animator = Animator(xlabel='epoch', xlim=[1, num_epochs], ylim=[0.3, 0.9],legend=['train loss', 'train acc', 'test acc'])#可视化部分，以后再学for epoch in range(num_epochs):train_metrics = train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater)#train_metrics训练误差test_acc = evaluate_accuracy(net, test_iter)#测试精度animator.add(epoch + 1, train_metrics + (test_acc,))#显示训练误差，训练精度；测试误差，测试精度train_loss, train_acc = train_metricsassert train_loss < 0.5, train_lossassert train_acc <= 1 and train_acc > 0.7, train_accassert test_acc <= 1 and test_acc > 0.7, test_acclr = 0.1def updater(batch_size):return d2l.sgd([W, b], lr, batch_size)num_epochs = 10
#训练十个迭代周期
train_ch3(net, train_iter, test_iter, cross_entropy, num_epochs, updater)

预测

def predict_ch3(net, test_iter, n=6):  #@save"""预测标签（定义见第3章）"""for X, y in test_iter:breaktrues = d2l.get_fashion_mnist_labels(y)  #真实标号preds = d2l.get_fashion_mnist_labels(net(X).argmax(axis=1)) #预测标号titles = [true +'\n' + pred for true, pred in zip(trues, preds)] #转成字符串d2l.show_images(X[0:n].reshape((n, 28, 28)), 1, n, titles=titles[0:n])predict_ch3(net, test_iter)

准确率挺高，

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