数学：Burnside引理与Pólya定理

这个计数定理在考虑对称的计数中非常有用

先给出这个定理的描述，虽然看不太懂：

在一个置换群G={a1,a2,a3……ak}中，把每个置换都写成不相交循环的乘积。 

设C1(ak)是在置换ak的作用下不动点的个数，也就是长度为1的循环的个数。通过上述置换的变换操作后可以相等的元素属于同一个等价类那么等价类的个数就等于：

然后理解一下公式

一正方形分成4格，2着色，有多少种方案？其中，经过转动相同的图象算同一方案。

关于转动，一共有四种置换方法，也就是｜G｜=4

不动(360度)：a1=(1)(2)…(16)
逆时针转90度：a2=(1)(2)(3 4 5 6)(7 8 9 10) (11 12)(13 14 15 16)
顺时针转90度：a3=(1)(2)(6 5 4 3)(10 9 8 7)(11 12)(16 15 14 13)
转180度：a4=(1)(2)(3 5)(4 6)(7 9)(8 10)(11)(12) (13 15)(14 16)

然后我们针对每一种置换的方式，找到其中的不动点，也就是只有自己的情况

由Burnside引理，共有(16+2+2+4)/4=6(种方案)

然后的Pólya定理其实就是简化这个运算用的

利用Burnside引理要首先列出所有n^m种可能的染色方案，然后找出在每个置换下保持不变的方案数。

然后找出在每个置换下保持不变的方案数,显然当m或n很大的时候,复杂度会炸

Polya定理实际上是Burnside引理的具体化，提供了计算不动点的具体方法

假设一个置换有σk个循环,就是轮换

易知每个循环对应的所有位置颜色需一致，而任意两个循环之间选什么颜色互不影响。

因此，如果有m种可选颜色，则该置换对应的不动点个数为m^σk。

用其替换Burnside引理中的C(G)，即C(G)=m^k。得到等价类数目为：

老实说，我看不懂这个怎么用的。。

burnside定理就是非等价染色数 = 在G中单个置换下保持不变的染色数的平均数

而polya定理说的是一种特殊情况，若有m中颜色，每种颜色不限数量，则在G中的某个置换g下，保持不变的染色数=m^k，k为置换g的循环个数

典型例题POJ1286

我们需要求的也就是不同置换的个数，和每一个置换的循环节数

旋转，旋转i个小球的距离，那么会得到0～n-1的置换方案，共有n种，对于旋转i个小球的循环节数为gcd(n,i)

翻转，对于偶数，不经过小球有对称抽有n/2个，每种置换方案有n/2+1个循环节；经过小球的对称轴有n/2个，每种置换方案有n/2个循环节

对于奇数，经过小球的对称轴，有n个，每种方案有n/2+1个循环节

 1 #include<cstdio>
 2 long long n,ans;
 3 long long gcd(long long a,long long b)
 4 {
 5     return b==0?a:gcd(b,a%b);
 6 }
 7 long long pow(long long x,long long k)
 8 {
 9     if(k==1) return x;
10     long long s=pow(x,k/2);
11     s=s*s;
12     if(k%2) s*=x;
13     return s;
14 }
15 int main()
16 {
17     while(scanf("%lld",&n)==1&&n!=-1)
18     {
19         if(n==0)
20         {
21             printf("0\n");
22             continue;
23         }
24         ans=0;
25         for(int i=0;i<n;i++)
26             ans+=pow(3,gcd(n,i));
27         if(n%2)
28         {
29             ans+=n*pow(3,n/2+1);
30         }
31         else
32         {
33             ans+=n/2*pow(3,n/2);
34             ans+=n/2*pow(3,n/2+1);
35         }
36         printf("%lld\n",ans/(n*2));
37     }
38     return 0;
39 }

转载于:https://www.cnblogs.com/aininot260/p/9568413.html

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