正题

在数学中，群表示一个拥有满足封闭性、满足结合律、有单位元、有逆元的二元运算的代数结构，包括阿贝尔群。

置换，简单来说就是对元素来进行一种重排列，即 [1,n][1,n][1,n] 映射到 [1,n][1,n][1,n]。

比如排列 [1,3][1,3][1,3] 的全部置换，单位元为 {1,2,3}\left\{1,2,3\right\}{1,2,3}，{2,3,1}\left\{2,3,1\right\}{2,3,1} 的逆元为 {3,1,2}\left\{3,1,2\right\}{3,1,2}。
但是 {2,3,1}\left\{2,3,1\right\}{2,3,1} 和 {1,2,3}\left\{1,2,3\right\}{1,2,3} 构成的集合不是群，因为 {2,3,1}\left\{2,3,1\right\}{2,3,1} 没有逆元，而且 {2,3,1}\left\{2,3,1\right\}{2,3,1}{2,3,1}\left\{2,3,1\right\}{2,3,1}={3,1,2}\left\{3,1,2\right\}{3,1,2}也不在。
群

Burnside引理

对于一个置换群 GGG ，若一个染色方案 SSS 在置换 gig_igi 后不变，那么称 SSS 在 gig_igi 作用下为不动点，即最小循环节为 111，将 gig_igi 作用下最小循环节为 kkk 的染色方案数量设为 ck(gi)c_k(g_i)ck(gi)。若通过置换群 GGG 作用后可以相等的元素称作一个等价类，那么等价类的数量为：l=1∣G∣∑i=1∣G∣c1(gi)l=\frac 1 {|G|}\sum_{i=1}^{|G|} c_1(g_i) l=∣G∣1i=1∑∣G∣c1(gi)
证明略

Polya定理

实质上就是Burnside引理的具体化，在颜色集合为 kkk 的情况下，等价类的数量为：l=1∣G∣∑i=1∣G∣kσ(gi)l=\frac 1 {|G|}\sum_{i=1}^{|G|} k^{\sigma(g_i)} l=∣G∣1i=1∑∣G∣kσ(gi)
其中 σ(gi)\sigma(g_i)σ(gi) 表示置换 gig_igi 中置换环的数量。

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