BZOJ 2142 礼物（拓展Lucas，中国剩余定理）【BZOJ修复工程】

整理的算法模板合集： ACM模板

点我看算法全家桶系列！！！

实际上是一个全新的精炼模板整合计划

题目链接

https://hydro.ac/d/bzoj/p/2142

是 hydro 的 BZOJ 修复工程！（我也去领了一点题慢慢修着玩，这题就是我修的嘿嘿嘿）

题目描述

一年一度的圣诞节快要来到了。每年的圣诞节小E都会收到许多礼物，当然他也会送出许多礼物。不同的人物在小E心目中的重要性不同，在小E心中分量越重的人，收到的礼物会越多。小E从商店中购买了 nnn 件礼物，打算送给 mmm 个人，其中送给第 iii 个人礼物数量为 wiw_iwi 。请你帮忙计算出送礼物的方案数（两个方案被认为是不同的，当且仅当存在某个人在这两种方案中收到的礼物不同）。由于方案数可能会很大，你只需要输出模 PPP 后的结果。

输入格式

输入的第一行包含一个正整数 PPP ，表示模数；

第二行包含两个整整数 nnn 和 mmm ，分别表示小E从商店购买的礼物数和接受礼物的人数；

以下 mmm 行每行仅包含一个正整数 wiw_iwi ，表示小E要送给第 iii 个人的礼物数量。

输出格式

若不存在可行方案，则输出 “Impossible” ，否则输出一个整数，表示模 PPP 后的方案数。

输入样例

输出样例

数据规模和约定

设 P=p1c1×p2c2×p3c3×⋯×ptctP=p_1^{c_1} \times p_2^{c_2} \times p_3^{c_3} \times \cdots \times p_t ^ {c_t}P=p1c1×p2c2×p3c3×⋯×ptct，pip_ipi 为质数。
对于 100%100\%100% 的数据，1≤n≤1091\le n\le 10^91≤n≤109，1≤m≤51\le m\le 51≤m≤5，1≤pici≤1051\le p_i^{c_i}\le 10^51≤pici≤105。

提示

【样例说明】

下面是对样例111 的说明。
以 / 分割，/ 前后分别表示送给第一个人和第二个人的礼物编号。121212 种方案详情如下：

1/23 1/24 1/34
2/13 2/14 2/34
3/12 3/14 3/24
4/12 4/13 4/23

Solution

一共 nnn 个礼物，第 111 个人需要 w1w_1w1 个礼物，方案数为 (w1n)\displaystyle {w_1 \choose n}(nw1)，然后对于第二个人，从剩下的 n−w1n-w_1n−w1 个礼物中选出 w2w_2w2 个礼物送给第二个人，方案数为 (w2n−w1)\displaystyle {w_2\choose {n-w_1}}(n−w1w2)，一次类推，总方案数根据乘法原理显然为：

∏i=1n(win−∑j=1iwj)modp\prod_{i = 1}^{n} {w_i\choose \displaystyle n-\sum_{j=1}^{i}w_j}\mod p i=1∏n(n−j=1∑iwjwi)modp

考虑如何计算。

由于给定的模数 ppp 不是质数，所以我们需要用拓展Lucas定理计算，然后就是一个拓展lucas的模板题了…

关于拓展Lucas定理：

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const int maxn = 1e4 + 6;
int n, m, s, t, ans;
int primes[maxn], cnt;
bool vis[maxn];
int v[maxn], M;
ll A, B;
int mod;
int w[maxn];
int r[maxn];struct mods
{int c, p;ll pc;
}f[maxn];ll qpow(ll a, ll b, ll mod)
{ll res = 1;while(b) {if(b & 1) res = res * a % mod;a = a * a % mod;b >>= 1;}return res;
}ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{if(b == 0) {x = 1, y = 0;return a;}ll d = exgcd(b, a % b, x, y);ll z = x;x = y;y = z - y * (a / b);return d;
}inline ll inv(ll a, ll p)
{ll x, y;exgcd(a, p, x, y);return (x + p) % p;
}//计算 x! 中除掉 val = prime 后模 p 的值
inline ll cal(ll x, ll val, ll p)
{if(x == 0) return 1;ll res = 1;ll last = x % p;for (int i = 1; i <= p; ++ i) if(i % val)    res = res * i % p;res = qpow(res, x / p, p);for (ll i = 1; i <= last; ++ i)if(i % val) res = res * i % p;return res * cal(x / val, val, p) % p;
}inline ll C(ll n, ll m, ll p, ll pc)
{if(m > n) return 0;ll k = 0;ll up = cal(n, p, pc);ll down1 = cal(m, p, pc);ll down2 = cal(n - m, p, pc);for (int i = n; i; i /= p) k += i / p;for (int i = m; i; i /= p) k -= i / p;for (int i = n - m; i; i /= p) k -= i / p; return up * inv(down1, pc) % pc * inv(down2, pc) % pc * qpow(p, k, pc) % pc;
}inline ll CRT(int cnt)
{ll m = mod, M[maxn] = {}, t[maxn] = {}, res = 0;for (int i = 1; i <= cnt; ++ i)M[i] = m / f[i].pc; for (int i = 1; i <= cnt; ++ i) {ll y; exgcd(M[i], f[i].pc, t[i], y); res = (res + r[i] % m * M[i] % m * t[i] % m) % m; }return (res % m + m) % m;
}inline ll exlucas(ll A, ll B)
{memset(f, 0, sizeof f);memset(r, 0, sizeof r);int x = mod, cnt = 0;for (ll i = 2; i * i <= x; ++ i) {if(x % i == 0) {f[ ++ cnt].p = i;f[cnt].pc = 1;while(x % i == 0) {x /= i;f[cnt].c ++ ;f[cnt].pc *= i;} r[cnt] = C(A, B, f[cnt].p, f[cnt].pc);}}if(x > 1) {f[ ++ cnt].p = x;f[cnt].c = 1;f[cnt].pc = x; r[cnt] = C(A, B, f[cnt].p, f[cnt].pc);} return CRT(cnt);
}int main()
{scanf("%d%d%d", &mod, &n, &m);ll sum = 0;for (int i = 1; i <= m; ++ i) {scanf("%d", &w[i]);sum += w[i];}if(sum > n) return 0 * puts("Impossible");ll ans = 1;A = n;for (int i = 1; i <= m; ++ i) {B = w[i];ans = (ans * exlucas(A, B)) % mod;A -= w[i];}printf("%lld\n", ans % mod);return 0;
}