一、问题描述

设控制对象的状态方程为
x˙p=Ap(t)xp+bp(t)u(1)\dot{\boldsymbol{x}}_{p}=\boldsymbol{A}_{p}(t) x_{p}+\boldsymbol{b}_{p}(t) u \tag{1} x˙p=Ap(t)xp+bp(t)u(1)
式中
Ap=[01−6−7],bp=[24](2)\boldsymbol{A}_{p}=\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -6 & -7 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{b}_{p}=\left[\begin{array}{l} 2 \\ 4 \end{array}\right] \tag{2} Ap=[0−61−7],bp=[24](2)
参考模型的状态方程为
x˙m=Amxm+bmr(3)\dot{\boldsymbol{x}}_{m}=\boldsymbol{A}_{m} x_{m}+\boldsymbol{b}_{m} r \tag{3} x˙m=Amxm+bmr(3)
式中
Am=[01−10−5],bm=[12](4)\boldsymbol{A}_{m}=\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -10 & -5 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{b}_{m}=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right] \tag{4} Am=[0−101−5],bm=[12](4)
用李雅普诺夫稳定性理论设计自适应规律。

二、问题建模

由于控制对象的参数（状态矩阵 Ap\boldsymbol{A}_{p}Ap 和控制矩阵 bp\boldsymbol{b}_{p}bp ）一般是未知的，且无法直接调整。所以为改变控制对象的动态特性，需采用前馈控制加反馈控制。

控制信号 uuu 由前馈信号 KrKrKr 和反馈信号 FxpFx_pFxp 组成，即
u=Kr+Fxp(5)u=K r+F \boldsymbol{x}_{p} \tag{5} u=Kr+Fxp(5)
式中，rrr 为 mmm 维输入向量，xp\boldsymbol{x}_{p}xp 为 nnn 维状态向量，KKK 为 m×mm \times mm×m 前馈增益矩阵，FFF 为 m×nm \times nm×n 反馈增益矩阵；具体在本次仿真实验中，输入向量维度 m=1m=1m=1，状态向量维度 n=2n=2n=2。

将(5)式代入控制对象的状态方程，可得
x˙p=[Ap(t)+bp(t)F]xp+bp(t)Kr(6)\dot{\boldsymbol{x}}_{p}=\left[\boldsymbol{A}_{p}(t)+\boldsymbol{b}_{p}(t) F\right] \boldsymbol{x}_{p}+\boldsymbol{b}_{p}(t) K r \tag{6} x˙p=[Ap(t)+bp(t)F]xp+bp(t)Kr(6)
设系统的广义状态误差向量为
e=xm−xp(7)\boldsymbol{e}=\boldsymbol{x}_{m}-\boldsymbol{x}_{p} \tag{7} e=xm−xp(7)
由参考模型的状态方程，结合(6)式及(7)式，可得：
e˙=Ame+(Am−Ap−bpF)xp+(bm−bpK)r(8)\dot{\boldsymbol{e}}=\boldsymbol{A}_{m} \boldsymbol{e}+\left(\boldsymbol{A}_{m}-\boldsymbol{A}_{p}-\boldsymbol{b}_{p} F\right) \boldsymbol{x}_{p}+\left(\boldsymbol{b}_{m}-\boldsymbol{b}_{p} K\right) r \tag{8} e˙=Ame+(Am−Ap−bpF)xp+(bm−bpK)r(8)
在理想情况，即 e→0e \rightarrow 0e→0 的情况下，(8)式等号右端后两项应等于0。设前馈增益矩阵 KKK 和反馈增益矩阵 FFF 的理想值分别为 Kˉ\bar{K}Kˉ 和 Fˉ\bar{F}Fˉ。

则最终可将(8)式写成
e˙=Ame+bmKˉ−1Φxp+bmKˉ−1Ψr(9)\dot{\boldsymbol{e}}=\boldsymbol{A}_{m} \boldsymbol{e}+\boldsymbol{b}_{m} \bar{K}^{-1} \Phi \boldsymbol{x}_{p}+\boldsymbol{b}_{m} \bar{K}^{-1} \Psi r \tag{9} e˙=Ame+bmKˉ−1Φxp+bmKˉ−1Ψr(9)
式中，Φ=Fˉ−F\Phi=\bar{F}-FΦ=Fˉ−F 为 m×nm \times nm×n 矩阵，Ψ=Kˉ−K\Psi=\bar{K}-KΨ=Kˉ−K 为 m×mm \times mm×m 矩阵。

选取李雅普诺夫函数为：
V=12[eTPe+tr⁡(ΦTΓ1−1Φ+ΨTΓ2−1Ψ)](10)V=\frac{1}{2}\left[\boldsymbol{e}^{T} \boldsymbol{P} \boldsymbol{e}+\operatorname{tr}\left(\Phi^{T} \Gamma_{1}^{-1} \Phi+\Psi^{T} \Gamma_{2}^{-1} \Psi\right)\right] \tag{10} V=21[eTPe+tr(ΦTΓ1−1Φ+ΨTΓ2−1Ψ)](10)
式中，P\boldsymbol{P}P 为 n×nn \times nn×n 维正定对称阵，Γ1\Gamma_{1}Γ1 和 Γ2\Gamma_{2}Γ2 均为 m×mm \times mm×m 维正定对称阵；符号 tr⁡\operatorname{tr}tr 表示矩阵的迹。

求(10)式对时间的导数，得
V˙=12[e˙Pe+eTPe˙+tr⁡(Φ˙TΓ1−1Φ+ΦTΓ1−1Φ˙+Ψ˙TΓ2−1Ψ+ΨTΓ2−1Ψ˙)](11)\dot{V}=\frac{1}{2}\left[\dot{\boldsymbol{e}} \boldsymbol{P} \boldsymbol{e}+\boldsymbol{e}^{T} \boldsymbol{P} \dot{\boldsymbol{e}}+\operatorname{tr}\left(\dot{\Phi}^{T} \Gamma_{1}^{-1} \Phi+\Phi^{T} \Gamma_{1}^{-1} \dot{\Phi}+\dot{\Psi}^{T} \Gamma_{2}^{-1} \Psi+\Psi^{T} \Gamma_{2}^{-1} \dot{\Psi}\right)\right] \tag{11} V˙=21[e˙Pe+eTPe˙+tr(Φ˙TΓ1−1Φ+ΦTΓ1−1Φ˙+Ψ˙TΓ2−1Ψ+ΨTΓ2−1Ψ˙)](11)
将(9)式代入(11)式，再根据矩阵迹的性质，于是有
V˙=12eT(PAm+AmTP)e+tr⁡(Φ˙TΓ1−1Φ+xpeTPbmKˉ−1Φ)+tr⁡(Ψ˙TΓ2−1Ψ+reTPbmKˉ−1Ψ)(12)\begin{aligned} \dot{V}=&\frac{1}{2} \boldsymbol{e}^{T}\left(\boldsymbol{P} \boldsymbol{A}_{m}+\boldsymbol{A}_{m}^{\boldsymbol{T}} \boldsymbol{P}\right) \boldsymbol{e}+\operatorname{tr}\left(\dot{\Phi}^{T} \Gamma_{1}^{-1} \Phi+\boldsymbol{x}_{p} \boldsymbol{e}^{T} \boldsymbol{P} \boldsymbol{b}_{m} \bar{K}^{-1} \Phi\right) \\ &+\operatorname{tr}\left(\dot{\Psi}^{T} \Gamma_{2}^{-1} \Psi+r \boldsymbol{e}^{T} \boldsymbol{P} \boldsymbol{b}_{m} \bar{K}^{-1} \Psi\right) \end{aligned} \tag{12} V˙=21eT(PAm+AmTP)e+tr(Φ˙TΓ1−1Φ+xpeTPbmKˉ−1Φ)+tr(Ψ˙TΓ2−1Ψ+reTPbmKˉ−1Ψ)(12)
为满足李雅普诺夫第二法，需保证(12)式是负定的，对应的情况为(12)式第一项是负定的，后两项都为零。

因为 Am\boldsymbol{A}_{m}Am 为稳定矩阵，则可选定正定对称阵 QQQ，使 PAm+AmTP=−Q\boldsymbol{P} \boldsymbol{A}_{m}+\boldsymbol{A}_{m}^{\boldsymbol{T}} \boldsymbol{P}=-\boldsymbol{Q}PAm+AmTP=−Q 成立。同时根据上述对应情况，Φ\PhiΦ 和 Ψ\PsiΨ 的选择如下：
Φ˙=−Γ1(bmKˉ−1)TPexpTΨ˙=−Γ2(bmKˉ−1)TPerT(13)\begin{aligned} \dot{\Phi}&=-\Gamma_{1}\left(\boldsymbol{b}_{m} \bar{K}^{-1}\right)^{T} \boldsymbol{P} \boldsymbol{e} \boldsymbol{x}_{p}^{T} \\ \dot{\Psi}&=-\Gamma_{2}\left(\boldsymbol{b}_{m} \bar{K}^{-1}\right)^{T} \boldsymbol{P} \boldsymbol{e} r^{T} \end{aligned} \tag{13} Φ˙Ψ˙=−Γ1(bmKˉ−1)TPexpT=−Γ2(bmKˉ−1)TPerT(13)
当 Ap\boldsymbol{A}_{p}Ap 和 bp\boldsymbol{b}_{p}bp 为常值或缓慢变化时，可得自适应调节规律：
F(t)=∫0tΓ1(bmKˉ−1)TPexpTdτ+F(0)K(t)=∫0tΓ2(bmKˉ−1)TPerdτ+K(0)(14)\begin{aligned} F(t)&=\int_{0}^{t} \Gamma_{1}\left(\boldsymbol{b}_{m} \bar{K}^{-1}\right)^{T} \boldsymbol{P e} \boldsymbol{x}_{p}^{T} d \tau+F(0) \\ K(t)&=\int_{0}^{t} \Gamma_{2}\left(\boldsymbol{b}_{m} \bar{K}^{-1}\right)^{T} \boldsymbol{P e} r d \tau+K(0) \end{aligned} \tag{14} F(t)K(t)=∫0tΓ1(bmKˉ−1)TPexpTdτ+F(0)=∫0tΓ2(bmKˉ−1)TPerdτ+K(0)(14)
需额外说明的一点是，按上述步骤推导得到的自适应调节规律要求 xp\boldsymbol{x}_{p}xp 与 rrr 线性独立。两者独立的条件是 r(t)r(t)r(t) 为具有一定频率的方波信号或为 qqq 个不同频率的正弦信号组成的分段连续信号，其中 q>n/2q>n / 2q>n/2 或 q>(n−1)/2q>(n-1) / 2q>(n−1)/2。

三、问题求解

由上述推导可知，为采取李雅普诺夫稳定性理论设计该MRACS，需引入前馈增益矩阵 KKK 和反馈增益矩阵 FFF，设计的目标是确定 KKK 和 FFF 的系数。

在引入两个增益矩阵进行自适应控制后，可调系统的状态方程变为：
x˙p=[Ap(t)+bp(t)F]xp+bp(t)Kr(15)\dot{\boldsymbol{x}}_{p}=\left[\boldsymbol{A}_{p}(t)+\boldsymbol{b}_{p}(t) F\right] \boldsymbol{x}_{p}+\boldsymbol{b}_{p}(t) K r \tag{15} x˙p=[Ap(t)+bp(t)F]xp+bp(t)Kr(15)
由之前的推导可知，(14)式中的 bmKˉ−1\boldsymbol{b}_{m} \bar{K}^{-1}bmKˉ−1 与 bp\boldsymbol{b}_{p}bp 的关系如下：
bmKˉ−1=bp=[24](16)\boldsymbol{b}_{m} \bar{K}^{-1}=\boldsymbol{b}_{p}=\left[\begin{array}{l} 2 \\ 4 \end{array}\right] \tag{16} bmKˉ−1=bp=[24](16)
选取(14)式中的部分自适应参数如下：
P=[3111],Γ1=Γ2=1(17)\boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{ll} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right], \quad \Gamma_{1}=\Gamma_{2}=1 \tag{17} P=[3111],Γ1=Γ2=1(17)
所以可得最终的自适应规律：
F(t)=∫0t[24][3111]expTdτ+F(0)K(t)=∫0t[24][3111]erdτ+K(0)(18)\begin{aligned} F(t)&=\int_{0}^{t}\left[\begin{array}{ll} 2 & 4 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right] \boldsymbol{e} \boldsymbol{x}_{p}^{T} d \tau+F(0) \\ K(t)&=\int_{0}^{t}\left[\begin{array}{ll} 2 & 4 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right] \boldsymbol{e r d} \tau+K(0) \end{aligned} \tag{18} F(t)K(t)=∫0t[24][3111]expTdτ+F(0)=∫0t[24][3111]erdτ+K(0)(18)
下将上述连续自适应规律进行离散化，用于实际的数值仿真实验。设数值积分步长为 hhh，则各时刻的参考模型状态向量及控制对象状态向量如下：
xm(k+1)=xm(k)+h[Am(k)xm(k)+Bm(k)r(k)]xp(k+1)=xp(k)+h[Ap(k)xp(k)+Bp(k)u(k)](19)\begin{aligned} \boldsymbol{x}_{m}(k+1)&=\boldsymbol{x}_{m}(k)+h\left[\boldsymbol{A}_{m}(k) \boldsymbol{x}_{m}(k)+\boldsymbol{B}_{m}(k) r(k)\right] \\ \boldsymbol{x}_{p}(k+1)&=\boldsymbol{x}_{p}(k)+h\left[\boldsymbol{A}_{p}(k) \boldsymbol{x}_{p}(k)+\boldsymbol{B}_{p}(k) u(k)\right] \end{aligned} \tag{19} xm(k+1)xp(k+1)=xm(k)+h[Am(k)xm(k)+Bm(k)r(k)]=xp(k)+h[Ap(k)xp(k)+Bp(k)u(k)](19)
由于上述推导得到的自适应控制规律要求 xp\boldsymbol{x}_{p}xp 与 rrr 线性独立，即要求 r(t)r(t)r(t) 为具有一定频率的方波信号或为 qqq 个不同频率的正弦信号组成的分段连续信号，其中q>n/2q>n / 2q>n/2 或 q>(n−1)/2q>(n-1) / 2q>(n−1)/2。在本次实验中，n=2n=2n=2，对应就要求 q>1q>1q>1，所以本次实验中选取由3个不同频率的正弦信号组成的分段连续信号，具体的输入信号的形式如下：
r(k)=sin⁡(0.01πk)+4sin⁡(0.2πk)+sin⁡(πk)(20)r(k)=\sin (0.01 \pi k)+4 \sin (0.2 \pi k)+\sin (\pi k) \tag{20} r(k)=sin(0.01πk)+4sin(0.2πk)+sin(πk)(20)
我们设计自适应规律时引入的控制信号 uuu 的离散化形式如下：
u(k)=K(k)r(k)+F(k)xp(k)(21)u(k)=K(k) r(k)+F(k) \boldsymbol{x}_{p}(k) \tag{21} u(k)=K(k)r(k)+F(k)xp(k)(21)
最终，还需将自适应规律离散化：
F(k)=h⋅∑j=0kbpTPe(k)(xp(k))T+F(0)K(k)=h⋅∑j=0kbpTPe(k)r(k)+K(0)(22)\begin{aligned} F(k)&=h \cdot \sum_{j=0}^{k} \boldsymbol{b}_{p}^{T} \boldsymbol{P} \boldsymbol{e}(k)\left(\boldsymbol{x}_{p}(k)\right)^{T}+F(0) \\ K(k)&=h \cdot \sum_{j=0}^{k} \boldsymbol{b}_{p}^{T} \boldsymbol{P} \boldsymbol{e}(k) r(k)+K(0) \end{aligned} \tag{22} F(k)K(k)=h⋅j=0∑kbpTPe(k)(xp(k))T+F(0)=h⋅j=0∑kbpTPe(k)r(k)+K(0)(22)
在推导出全部的自适应规律并对相应规律进行离散化后，通过MATLAB进行了相关的仿真实验。

可以得到2个维度的状态向量的参考模型值与可调系统值的情况如下：

图1. 状态向量的参考模型值与可调系统值

可以看到，可调系统并没有很好的跟踪参考模型，这是由于在该例中不存在最优匹配。

附录：实现MATLAB代码

% 课本习题3.4-用李雅普诺夫稳定性理论设计自适应规律
clear, clc;
close all;h=0.01;L=100/h;     % 数值积分步长和仿真步数
% 可调系统的系数矩阵
Ap = [0 1;-6 -7];
Bp = [2; 4];
% 参考模型的系数矩阵
Am = [0 1;-10 -5];
Bm = [1; 2];
% n为行向量维数、m为列向量维数，Bp是n*m的矩阵
n = size(Bp, 1);
m = size(Bp, 2);P = [3 1;1 1];              % 经计算得到的用于自适应规律的正定对称矩阵% 设定所有参数的初始值
yr0 = zeros(m, 1);
xp0 = zeros(n, 1);
xm0 = zeros(n, 1);
u0 = zeros(m, 1);
e0 = zeros(n, 1);
F0 = zeros(m, n);           % 反馈增益矩阵初始值
K0 = zeros(m, m);           % 前馈增益矩阵初始值% 初始分配参数空间
time = zeros(1, L);         % 用于记录仿真的时刻，对应绘图的横轴
yr = zeros(m, L);           % 输入信号(L个m维向量)
xp = zeros(n, L);           % 可调系统的状态向量(L个n维向量)
xm = zeros(n, L);           % 参考模型的状态向量(L个n维向量)
u = zeros(m, L);            % 控制信号(L个m维向量)
e = zeros(n, L);            % 系统的广义状态误差向量(L个n维向量)for k = 1:Ltime(k) = k*h;% 输入信号yr(k) = 1*sin(0.01*pi*time(k))+4*sin(0.2*pi*time(k))+sin(1*pi*time(k));xp(:,k) = xp0+h*(Ap*xp0+Bp*u0);     % 计算xpxm(:,k) = xm0+h*(Am*xm0+Bm*yr0);    % 计算xme(:,k) = xm(:,k)-xp(:,k);           % e=xm-xp% 代入F和K的自适应控制规律F = F0+h*(Bp'*P*e0*xp0');K = K0+h*(Bp'*P*e0*yr0);% 控制信号u=K*r+F*xp（K是前馈增益矩阵，F是反馈增益矩阵）u(:,k) = K*yr(k)+F*xp(:,k);% 将本轮求解得到的参数赋值给参数初始值，方便下一轮迭代使用yr0 = yr(:,k);u0 = u(:,k);e0 = e(:,k);xp0 = xp(:,k);xm0 = xm(:,k);F0 = F;K0 = K;
endsubplot(2,1,1);
plot(time, xm(1,:), 'Color', 'b', 'LineWidth', 0.9);
hold on
plot(time, xp(1,:), 'Color', 'r', 'LineStyle', '--', 'LineWidth', 1.1);
xlabel('t');
ylabel('x_m_1(t)、x_p_1(t)');
legend('x_m_1(t)','x_p_1(t)');
hold off
subplot(2,1,2);
plot(time, xm(2,:), 'Color', 'b', 'LineWidth', 0.9)
hold on
plot(time, xp(2,:), 'Color', 'r', 'LineStyle', '--', 'LineWidth', 1.1)
xlabel('t');
ylabel('x_m_2(t)、x_p_2(t)');
legend('x_m_2(t)', 'x_p_2(t)');
hold off

参考书目

李言俊, 张科. 自适应控制理论及应用[M]. 西北工业大学出版社, 2005.

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