前言

本文简单介绍递归的使用（依次打印出一个 int 整数的每一位）和求最大子序列的方法（以 int 数组为例）。

一、递归

递归的基本法则：
      1，基准情形：能够直接解出结果的情形。
      2，不断推进：保证每一次递归调用能向基准情形推进。
      3，设计法则：所有的递归调用都能运行。（一般不考虑这点）
      4，合成效益法则：在求解一个问题时，切忌在不同的递归调用中做重复性的工作。比如：求斐波那契数列中的： f(n)=f(n-1)+f(n-2)。 f(n-2) 被单独计算一次，但是当计算 f(n-1) 时，f(n-2) 又被计算一次，以此类推，程序做了大量重复性的工作。

递归示例，依次打印出一个整数的每一位：

public final class HelloWorld {public static void print(int n){if(n>=10)print(n/10);System.out.println(n%10);}public static void main(String[] args){int n=12345678;if(n>=0&&n<=Integer.MAX_VALUE)print(n);}
}

二、求最大子序列和

1，最朴素的解法

其思想为：将一个序列的所有可能的子序列和都计算一遍，取最大值。最外层循环 i 用来标记待计算序列的起始下标，j 用来标记待计算序列的结束下标，k 用来遍历待计算序列，得到其和，并且保留最大的序列和值。

该解法的时间复杂度为O(n3)。

public static int findMaxSeries_1(int[] n){int re=Integer.MIN_VALUE,tmp;for(int i=0;i<n.length;i++)for(int j=i;j<n.length;j++) {tmp=0;for(int k=i;k<j+1;k++)tmp+=n[k];if(re<tmp)re=tmp;}return re;}

2，较朴素的解法（更进一步）

上面代码中在 j 循环中，可以在 j 每次变化时计算新的子序列和并判断大小，从而可以省掉不必要的最内层循环：

该解法的时间复杂度为O(n2)。

public static int findMaxSeries_2(int[] n){int re=Integer.MIN_VALUE,tmp;for(int i=0;i<n.length;i++){tmp=0;for(int j=i;j<n.length;j++) {tmp+=n[j];if(re<tmp)re=tmp;}}return re;}

3，分治和递归

试一下时间复杂度为O(nlogn）的解法。采用分治的思想，那需要将原序列分为两个子序列来计算（递归进行分配，直到设定的某个约束条件），原序列的最大子序列和有三种情况：1，当最大子序列在左边序列时：它的值为左边序列中的最大子序列和值；2，当最大子序列在右边序列时：它的值为右边序列中的最大子序列和值；3，当最大子序列横跨左右序列时：此时需要，从左右两边的分界线处开始计算，分别求左边和右边序列中的最大值（时间复杂度为 O(n)），然后左右相加便得到结果。

具体地见下面代码：

    public static int findMaxSeries_3(int[] n){return findMaxSeries_3_1(n,0,n.length-1);}public static int findMaxSeries_3_1(int[] n, int left, int right){if(left==right)//当序列只有一个值的时候，直接返回。return n[left];int mid=(left+right)/2;int maxLeftSum= findMaxSeries_3_1(n,left,mid);int maxRightSum= findMaxSeries_3_1(n,mid+1,right);int maxLeftBorderSum=Integer.MIN_VALUE,leftBorderSum=0;for(int i=mid;i>=left;i--){leftBorderSum+=n[i];if(leftBorderSum>maxLeftBorderSum)maxLeftBorderSum=leftBorderSum;//求左边序列的最大值(从元素 n[center]开始)}int maxRightBorderSum=Integer.MIN_VALUE,rightBorderSum=0;for(int i=mid+1;i<=right;i++){rightBorderSum+=n[i];if(rightBorderSum>maxRightBorderSum)maxRightBorderSum=rightBorderSum;//求左边序列的最大值(从元素 n[center+1])开始)}return maxLeftSum>maxRightSum? maxLeftSum: Math.max(maxRightSum, (maxLeftBorderSum + maxRightBorderSum));}

4，精妙的解法

和上一个解法中求左右序列最大值的方法类似，不过需要带点儿变化。

1，在一次遍历中，刚开始保存一个元素组成的序列和，即它本身。
2，当子序列长度加一时，此时子序列中有两个元素，判断此时的序列和与之前值 max 的大小关系，若比之前值大，就保存此时的序列和。如果当前序列和小于 0 ，那之前的序列就丢掉了，重置为 0，从下一个数重新开始。
3，最后由 max 返回最大值。

该解法的时间复杂度为O(n)。

    public static int maxSubArray(int[] nums) {int len=nums.length;int sum=0,max=Integer.MIN_VALUE;for(int i=0;i<len;i++){sum+=nums[i];if(sum>max)max=sum;if(sum<0)sum=0;}return max;}

总结

完，

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