Non-Blocking 的基本概念

电路交换网络（Circuit-Switched Network）：不同于包交换网络（packet-switched）的共享资源，电路交换网络在传输数据之前，会建立一条从 source 到 destination 专用的连接，数据会连续地通过这条连接传输，数据传输完成后断开连接。

非阻塞网络（Non-Blocking Network）与阻塞网络（Blocking-Network）：Non-Blocking 与 Blocking 是 Circuit-Swtiched 网络的一种分类方式。

Non-Blocking 网络可以同时为所有由 input 到 output 的数据传输请求建立连接。即在同一时刻，所有的 input 到它所选择的 output 之间的连接不会产生冲突（共享一条channel）。
Blocking 网络不能同时处理由所有 input 发出的向 output 建立连接的请求。

非阻塞网络（Non-Blocking Network）的分类：

Strictly Non-Blocking：连接可以递增地建立。在建立新的连接时，不必改变之前已建立的连接的路由路径。
Rearrangeably Non-Blocking：在建立新的连接时，可能需要将之前已建立的其他连接重新设置路由路径。

通常对于以上概念，我们都只考虑 unicast traffic 的场景，即一个 input 最多只和一个 output 建立连接，每个 output 也只和一个 input 建立连接。

Crossbar Switch

Crossbar 是经典的 Non-Blocking 网络，最早的电话网络大多使用 crossbar 实现。

在数字逻辑电路上，对于 n 个 input，m 个 output 的 crossbar 网络，需要 m 个 n:1 的多选器来实现。

Crossbar 最大的缺陷在于它的面积与开销。随着 input 和 output 规模的增大，电路规模会以 n x n 的量级扩大，而后面将介绍的其他 Non-Blocking 网络规模增长的量级仅为 n x logn。

Clos Network

网络基本结构

经典的 Clos 结构是一个三阶段的网络，每一阶段由若干数量的 crossbar swtich 组成。通常使用三元组（m, n, r）来表示一个 Clos 的参数：

m 是中间阶段 switch 的数量。
n 是每个input/output swtich 的端口数量。
r 是 input、output 阶段 switch 的数量。
每个 middle switch 会和所有的 input swtich 和 output swtich 相连。

第一阶段的 r 个 input swtich 是 n x m 的 crossbar，每个 swtich 将各自 n 个输入端口连接到 m 个 middle swtich 上。

第二阶段的 m 个 middle switch 是 r x r 的 crossbar，每个 switch 将 r 个 input swtich 与 r 个 output swtich 相连。

第三阶段的 r 个 output switch 是 m x n 的 crossbar，每个 switch 将 m 个 middle switch 与 n 个输出端口相连。

Unicast Routing on Strictly Non-Blocking Clos

在 Clos 的路由选择上，唯一可以进行选择的地方在 input switch。只要 input switch 到 middle switch 的 channel 没有被占用，input switch 就可以选择该 middle switch 作为建立连接的中间节点。一旦 middle switch 被选定，剩下的路径也就被唯一确定了（或者路径繁忙路由失败）。

定理：如果对于一个 Clos， m>=2n−1m >= 2n - 1m>=2n−1，那么它是 strictly non-blocking。

证明： 由 input switch A.i 向 input switch B.j 建立连接。

若 A 的 n-1 个端口和 B 的 n-1 个端口均已建立连接。A 已建立的连接选择前 n-1 个middle switch，B已建立的连接用到后 n-1 个 middle switch。

这时还再需要一个可用的 middle swtich，才能完成 A.i 向 B.j 的连接。

共计是 m=2n−1m = 2n -1m=2n−1 个 middle switch，能够作为 strictly non-blocking 的充分条件。

路由算法： 根据上面推导的证明过程，可以得到路由选择算法，即只要有能用的 middle switch，双边要用到的 channel 均空闲，就可以选择。

strictly non-blocking 的路由算法非常简单，然而它的花销较大。它所需 middle switch 的数量是 rearrangeable network 的 2n−1n\frac{2n-1}{n}n2n−1 倍。

Unicast Routing on Rearrangeable Clos Networks

定理：如果对于一个 Clos， m>=nm >= nm>=n，那么它是 rearrangeable non-blocking。

路由算法： 从 input swtich a 向 output swtich b 建立连接。

1、如果有可用的 middle switch，a、b 两端均为空闲，则选择该 middle swtich。

2、如果没有可用的 middle swtich，则选择 a 端空闲的 middle switch，建立连接。

3、之前的 switch c 通过该 middle switch 与 swtich b 的连接断开。重新为 input switch c 到 output switch b 尝试建立连接。

4、如此循环迭代。回到步1。

定理：上述算法的循环，最多经过 2r−22r-22r−2 次的迭代，可以最终完成全部 arrangement。

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