与复旦大学《数学分析》编者商榷
与复旦大学《数学分析》编者商榷
在2012年12月19日，我在“超实数*R真的存在吗？短文中曾论及超实数*R的存在性。无穷小是超实数，当然其存在性也在所论之列。
首先需要指出的是：数学的存在性与物理的存在性并不相同。在大多数数学家看来，数学对象的存在性是指：如果该数学对象包含在一个不会导致逻辑矛盾的公理系统中，数学家们就认为该数学对象是存在的。数学家的存在性观念与物理学家是有区别的。数学只是描述物理现象的一种工具，数学结论的真实性需要逻辑证明来确立，无需用物理试验来验证。
在《微积分阅览室》里面，J. Keisler采用所谓“超乘机”(Ultraproduct)构造出超实数系统，而且指出该新型数系满足一组公理系统。由于这组有关超实数的公理系统是建立在有理数系之上的，所以，一般认为该公理系统是无矛盾的，从而说明了一个事实，即在数学存在性的观念之下，超实数系*R是存在的。
我们所说的”无穷小“，不是别的什么东西，只是无限接近于零的超实数，当然是存在的，毋庸置疑。与之对比，我国普通高等教育”十一五“国家级规划教材复旦大学编写的《数学分析》教材，在其第1章变量与函数第1节里面，明确说明：”本书的研究对象都是是实变量与实常数，而实变量与实常数是指：时间、质量、压力、温度、分子数等“，公然把数学的研究对象混同于物理学研究对象，彻底否定了现代数学的存在观。据此，我们说，国内目前的教育体系培养出一批”小糊涂“不为过也。
从无穷小微积分的角度观察问题，物理仪表的指针可以指向超实数的”刻度“，但是，其真实的”读数“却是该超实数”刻度“的标准部分（传统的实数值）。建设现代化强国，光靠”小糊涂“不行。我们欢迎读者多次访问《微积分阅览室》，但是，我们提倡”静心思考“，独立研究问题，逐步确立起在数学上的是非观念。学习数学，全在于一个”明白“。
J. Keisler《基础微积分》的可贵之处（价值）在于：该教材首次全面采用公理化方法展开微积分学，把微积分学提升到一个新高度。进入《微积分阅览室》，外行看热闹，内行看门道。阅读数学书，只看一遍是不行的，需要反复阅读，仔细琢磨，悟出其中的”道理“才算“读懂”。《微积分阅览室》开办4天以来，共计有80余人访问，也不算少了。新学年开始之后，读者人数还会进一步增加。现在的问题是，《微积分阅览室》的基础数据放在哪里为好呢？总不能长期放在我的博客栏目里面，似乎有故意凸出个人的嫌疑。如何尽快摆脱这种尴尬境地，让我很烦心。一般高校不愿意接受这种”异端“学说，担心招惹麻（与其他高校不一致）。
袁萌 10月7日
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