工科数学分析学习笔记

教材：工科数学分析
编者：孙兵毛京中

第一章函数、极限与连续

第一节函数

自然定义域：使得算式有意义的一切实数组成的集合
N(a,δ)N(a,\delta)N(a,δ) 称为点aaa的δ\deltaδ邻域
反函数存在定理：
如果y=f(x)y=f(x)y=f(x)是定义在XXX上的单调增加（或单调减少）函数，其值域为YYY，则必存在反函数Y=f−1(y)Y=f^{-1}(y)Y=f−1(y)，且反函数在YYY上也是单调增加（或单调减少）的
初等函数：
常数：y=Cy=Cy=C （ CCC是常数）
幂函数：y=xpy=x^py=xp （ppp是实数）
指数函数：y=ax(a>0,a≠1)y=a^x(a>0,a\neq 1)y=ax(a>0,a=1)
对数函数：y=logax(a>0,a≠1)y=log_ax(a>0,a\neq 1)y=logax(a>0,a=1)
三角函数：y=sinx,y=cosx,y=tanxy=sinx,y=cosx,y=tanxy=sinx,y=cosx,y=tanx
y=cotx=1tanx,y=secx=1cos,y=cscx=1sinxy=cotx=\frac{1}{tanx},y=secx=\frac{1}{cos},y=cscx=\frac{1}{sinx}y=cotx=tanx1,y=secx=cos1,y=cscx=sinx1
反三角函数：y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotxy=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotxy=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx

双曲余弦：chx=ex+e−x2chx=\frac{e^x+e^{-x}}{2}chx=2ex+e−x
双曲正弦：shx=ex−e−x2shx=\frac{e^x-e^{-x}}{2}shx=2ex−e−x

chx2−shx2=1chx^2-shx^2=1chx2−shx2=1
sh(x±y)=shxchy±chxshysh(x\pm y)=shxchy\pm chxshysh(x±y)=shxchy±chxshy
ch(x±y)=chxchy±shxshych(x\pm y)=chxchy\pm shxshych(x±y)=chxchy±shxshy
sh2x=2shxchxsh2x=2shxchxsh2x=2shxchx
ch2x=chx2+shx2ch2x=chx^2+shx^2ch2x=chx2+shx2
反双曲函数：
y=arshx=ln(x+x2+12)y=arshx=ln(x+\sqrt[2]{x^2+1})y=arshx=ln(x+2x2+1)
y=archx=ln(x+x2−12)y=archx=ln(x+\sqrt[2]{x^2-1})y=archx=ln(x+2x2−1)
y=arthx=12ln1+X1−Xy=arthx=\frac{1}{2} ln\frac{1+X}{1-X}y=arthx=21ln1−X1+Xy

一些参数方程：

第二节极限的概念

发散：无极限，收敛：有极限
在数列{yn}\{y_n\}{yn}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列{yn}\{y_n\}{yn}中前后的次序，这样得到的数列称为原数列{yn}\{y_n\}{yn}的一个子序列（简称子列），如果将这些第kkk次抽到的数记为ynky_{n_k}ynk，则所得子列为{ynk}=yn1,yn2,⋯ynk,⋯,\{y_{n_k}\}=y_{n_1},y_{n_2},\cdots\,y_{n_k},\cdots,{ynk}=yn1,yn2,⋯ynk,⋯,
如果数列{yn}\{y_n\}{yn}收敛于AAA,则{yn}\{y_n\}{yn}的任一子列{ynk}\{y_{n_k}\}{ynk}也收敛于AAA
lim⁡x→x0f(x)=A\lim\limits_{x \to \ x_0} f(x)=Ax→ x0limf(x)=A的充分必要条件是lim⁡x→x0+f(x)=A\lim\limits_{x \to \ x_0^+} f(x)=Ax→ x0+limf(x)=A且lim⁡x→x0−f(x)=A\lim\limits_{x \to \ x_0^-} f(x)=Ax→ x0−limf(x)=A

第三节极限的性质

局部有界性：如果lim⁡x→x0f(x)\lim\limits_{x \to \ x_{0}} f(x)x→ x0limf(x)存在，则在点x0x_0x0的某去心邻域内，函数f(x)f(x)f(x)有界
局部保号性：如果lim⁡x→x0f(x)=A\lim\limits_{x \to \ x_{0}} f(x)=Ax→ x0limf(x)=A，且A>0A>0A>0（或A<0A<0A<0），则在点x0x_0x0的某去心邻域内，有f(x)>0f(x)>0f(x)>0（或f(x)<0f(x)<0f(x)<0）
如果在点x0x_0x0的某去心邻域内有f(x)≥g(x)f(x) \geq g(x)f(x)≥g(x)，且lim⁡x→x0f(x)=A\lim\limits_{x \to \ x_0} f(x)=Ax→ x0limf(x)=A,lim⁡x→x0g(x)=B\lim\limits_{x \to \ x_0} g(x)=Bx→ x0limg(x)=B，则A≥BA\geq BA≥B

第四节无穷小与无穷大

氵

第五节极限的运算法则

设f(x)f(x)f(x)是初等函数，则lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim\limits_{x \to \ x_0} f(x)=f(x_0)x→ x0limf(x)=f(x0)
使用复合函数极限运算法则要求在点x0x_0x0的某去心邻域内g(x)≠u0g(x)\neq u_0g(x)=u0

第六节极限存在准则与两个重要极限及几个基本定律

夹逼定理：
如果在点x0x_0x0的某去心邻域内，有g(x)≤f(x)≤h(x)g(x)\leq f(x)\leq h(x)g(x)≤f(x)≤h(x)
且lim⁡x→x0g(x)=lim⁡x→x0h(x)=A\lim\limits_{x \to \ x_0} g(x)=\lim\limits_{x \to \ x_0} h(x)=Ax→ x0limg(x)=x→ x0limh(x)=A，则lim⁡x→x0f(x)=A\lim\limits_{x \to \ x_0} f(x)=Ax→ x0limf(x)=A
单调有界准则：
如果数列{yn}\{y_n\}{yn}单调增加，且有上界，则lim⁡n→∞yn\lim\limits_{n \to \ \infty} y_nn→ ∞limyn一定存在，反之亦然
区间套定理、致密性定理、完备性定律和有限覆盖定理不考，先咕了
常用极限：

第七节无穷小的比较

关于等价无穷小在计算中的使用
常见无穷小：

第八节函数的连续性

如果lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim\limits_{x \to \ x_0} f(x)=f(x_0)x→ x0limf(x)=f(x0),则称函数f(x)f(x)f(x)在点x0x_0x0处连续
设x0x_0x0是f(x)f(x)f(x)的间断点，如果f(x)f(x)f(x)在点x0x_0x0的左极限f(x0−0)f(x_0-0)f(x0−0)与右极限f(x0+0)f(x_0+0)f(x0+0)都存在，则称x0x_0x0是f(x)f(x)f(x)的第一类间断点，并且f(x0−0)=f(x0+0)f(x_0-0)=f(x_0+0)f(x0−0)=f(x0+0),则又称x0x_0x0为可去间断点，此时，lim⁡x→x0f(x)\lim\limits_{x\to \ x_0}f(x)x→ x0limf(x)存在，因此f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0间断的原因是f(x0)f(x_0)f(x0)不存在，或者f(x0)f(x_0)f(x0)存在，但与lim⁡x→x0f(x)\lim\limits_{x\to \ x_0}f(x)x→ x0limf(x)不相等
如果x0x_0x0是f(x)f(x)f(x)的间断点，但不是第一类间断点，则称其为第二类间断点
连续函数的和、差、积、商、反函数、复合函数也具有连续性
一切初等函数在其定义域内都连续

第二章导数与微分

第一节导数的概念

函数f(x)f(x)f(x)在点x0x_0x0可导的充分必要条件是f(x)f(x)f(x)在点x0x_0x0处的左右导数都存在且相等
如果函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)在点x0x_0x0处可导，则它在点x0x_0x0处一定连续

第二节求导法则和基本公式

反函数求导

第三节隐函数的求导法和由参数方程确定的函数的求导法

隐函数求导：方程两端对xxx求导
当函数的形式为y=u(x)v(x)y=u(x)^{v(x)}y=u(x)v(x)，称其为幂指函数,一般用对数求导法
对数求导法：方程两端求对数
参数方程求导：

第四节高阶导数

nnn阶导数可记作：dnydxn\frac{d^ny}{dx^n}dxndny
一些重要函数高阶导数
莱布尼兹（Leibniz）公式：

参数方程二阶导：
d2ydx2=y′′′(t)x′(t)−y′(t)x′′(t)(x′(t))3=dy′dtdxdt\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{y^{\prime \prime \prime}(t)x^{\prime}(t)-y^{\prime}(t)x^{\prime \prime}(t)}{(x^{\prime}(t))^3}=\frac{\frac{dy^{}\prime}{dt}}{\frac{dx}{dt}}dx2d2y=(x′(t))3y′′′(t)x′(t)−y′(t)x′′(t)=dtdxdtdy′

第五节微分

设函数f(x)f(x)f(x)在点xxx的某邻域内有定义，如果函数在点xxx处的增量Δy=f(x+Δx)−f(x)\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)Δy=f(x+Δx)−f(x)可以表示为
Δy=A(x)Δx+o(Δx)\Delta y=A(x)\Delta x+o(\Delta x)Δy=A(x)Δx+o(Δx)
其中A(x)A(x)A(x)只与xxx有关，而与Δx\Delta xΔx无关，则称f(x)f(x)f(x)在点xxx是可微的，而A(x)ΔxA(x)\Delta xA(x)Δx叫作函数f(x)f(x)f(x)在点xxx处的微分，记作dxdxdx或dydydy
函数f(x)f(x)f(x)在点xxx可微的充分必要条件是f(x)f(x)f(x)在点xxx处可导，并且dy=f′(x)dxdy=f^{\prime}(x)dxdy=f′(x)dx

第三章

第一节微分中值定理

罗尔定理：如果f(x)f(x)f(x)在闭区间[a,b][a,b][a,b]上连续，在开区间(a,b)(a,b)(a,b)内可导，并且满足f(a)=f(b)f(a)=f(b)f(a)=f(b)，则至少存在一点δ∈(a,b)\delta \in(a,b)δ∈(a,b)，使得f′(δ)=0f^{\prime}(\delta)=0f′(δ)=0 （三个条件缺一不可)
证明：
拉格朗日中值定理：如果f(x)f(x)f(x)在闭区间[a,b][a,b][a,b]上连续，在开区间(a,b)(a,b)(a,b)内可导，则至少存在一点δ∈(a,b)\delta \in(a,b)δ∈(a,b)，使得f′(δ)=f(b)−f(a)b−af^{\prime}(\delta)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}f′(δ)=b−af(b)−f(a)，又可以写为f(x+Δx)−f(x)=f′(x+θΔx)Δx(0<θ<1)f(x+\Delta x)-f(x)=f^{\prime}(x+\theta \Delta x)\Delta x(0<\theta <1)f(x+Δx)−f(x)=f′(x+θΔx)Δx(0<θ<1)

柯西中值定理：如果f(x)f(x)f(x)与g(x)g(x)g(x)在闭区间[a,b][a,b][a,b]上连续，在开区间(a,b)(a,b)(a,b)内可导，且在开区间(a,b)(a,b)(a,b)内g′(x)≠0g^{\prime}(x)\neq 0g′(x)=0,则至少存在一点δ∈(a,b)\delta \in(a,b)δ∈(a,b)，使得f′(δ)g′(δ)=f(b)−f(a)g(b)−g(a)\frac{f^{\prime}(\delta)}{g^{\prime}(\delta)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g′(δ)f′(δ)=g(b)−g(a)f(b)−f(a).

第二节洛必达法则

0⋅∞0\cdot \infty0⋅∞型变化： lim⁡f(x)g(x)=lim⁡f(x)1g(x)\lim f(x)g(x)=\lim \frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}limf(x)g(x)=limg(x)1f(x).
∞−∞\infty-\infty∞−∞型变化：lim⁡[f(x)−g(x)]=lim⁡1g(x)−1f(x)1f(x)g(x)\lim[f(x)-g(x)]=\lim\frac{\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{f(x)g(x)}}lim[f(x)−g(x)]=limf(x)g(x)1g(x)1−f(x)1.
1∞、00、∞01^{\infty}、0^0、\infty^{0}1∞、00、∞0型变化：取对数化为0⋅∞0\cdot \infty0⋅∞型

第三节函数的单调性与极值

y=by=by=b直线上任意一点都是极值点

第四节曲线的凹凸性和渐近线，函数作图

设函数f(x)f(x)f(x)在区间(a,b)(a,b)(a,b)内可导，如果曲线y=f(x)y=f(x)y=f(x)位于每一点切线的上方，即对于任意x0∈(a,b)x_0\in (a,b)x0∈(a,b)，都有f(x)>f(x0)+f′(x0)(x−x0)(x∈(a,b),x≠x0)f(x)>f(x_0)+f^{'}(x_0)(x-x_0)(x\in (a,b),x\neq x_0)f(x)>f(x0)+f′(x0)(x−x0)(x∈(a,b),x=x0)则称在(a,b)(a,b)(a,b)内函数f(x)f(x)f(x)是凹弧.反之是凸弧
若对任意x1,x2∈(a,b)(x1≠x2)x_1,x_2\in (a,b)(x_1\neq x_2)x1,x2∈(a,b)(x1=x2)恒有f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}f(2x1+x2)<2f(x1)+f(x2)则是凹弧.大于则是凸弧
凹凸性的充分条件：如果在(a,b)(a,b)(a,b)内f′′(x)>0f^{''}(x)>0f′′(x)>0,则是凹，<0<0<0则是凸
如果曲线y=f(x)y=f(x)y=f(x)在点x0x_0x0连续，并且x0x_0x0是曲线凹弧和凸弧的分界点，则称(x0,f(x0))(x_0,f(x_0))(x0,f(x0))是y=f(x)y=f(x)y=f(x)的拐点
垂直渐近线：
如果lim⁡x→C−f(x)=∞\lim\limits_{x\to C^-}f(x)=\inftyx→C−limf(x)=∞或lim⁡x→C+f(x)=∞\lim\limits_{x\to C^+}f(x)=\inftyx→C+limf(x)=∞，则x=Cx=Cx=C是y=f(x)y=f(x)y=f(x)的垂直渐近线

水平渐近线：
如果lim⁡x→+∞f(x)=C\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=Cx→+∞limf(x)=C或lim⁡x→−∞f(x)=C\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=Cx→−∞limf(x)=C，则y=Cy=Cy=C是y=f(x)y=f(x)y=f(x)的水平渐近线

斜渐近线：如果极限lim⁡x→+∞f(x)x=a(a≠0)\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=a(a\neq 0)x→+∞limxf(x)=a(a=0)