级数的定义及敛散性的证明

2024-05-18 02:07:43

首先要区别的是级数（series）和数列（sequence）的概念，序列是不同的数的组合，级数则是这些元素的和式。

1. 级数

将数列 un u_n 的项 u1,u2,…,un,… u_1,u_2,\ldots,u_n,\ldots，依次用加号连接起来的函数。数项级数的简称。如： u1+u2+…+un+… u_1+u_2+\ldots+u_n+\ldots ，简写为 ∑un \sum u_n ， un u_n 称为级数的通项，记 Sn=∑un S_n=\sum u_n 称之为级数的部分和。如果当 n→∞ n\to \infty 时，数列有极限，则说级数收敛，并以 S S 为其和，记为 ∑un=S\sum u_n=S ；否则就说级数发散。

2. 简单证明

基本手段，1. 放缩，

级数 n+1−−−−−√−n√ \sqrt{n+1}-\sqrt{n} 的敛散性：

∑n+1−−−−−√−n√=∑1n+1−−−−−√+n√>∑12n+1−−−−−√>∑12(n+1)

\sum\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\sum\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}>\sum \frac1{2\sqrt{n+1}}>\sum\frac1{2(n+1)}

因此其是发散的；

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