级数形式套级数的敛散性判断

@(微积分)

已知级数(1):
∑∞n=1(1−12+13−14+..+(−1)n+1n)\sum_{n=1}^{\infty}(1-\frac{1}{2} + \frac{1}{3}-\frac{1}{4}+..+\frac{(-1)^{n+1}}{n})

级数(2):
∑∞n=1(1+12+13+14+..+1n)\sum_{n=1}^{\infty}(1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+..+\frac{1}{n}), 则两级数都发散⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯\underline {都发散}

分析：这种题目的主要坑点是会让人关注内部级数的敛散性，而忘记了外面还有层级数。导致做出前面是收敛后面是发散的判断。

令un=1−12+13−14+..+(−1)n+1nu_n = 1-\frac{1}{2} + \frac{1}{3}-\frac{1}{4}+..+\frac{(-1)^{n+1}}{n}

unu_n本身是收敛的，这不必怀疑，因为根据交错级数收敛定理可以得出。

我们关注的是unu_n作为元素时构成的级数将是什么性质。

不妨加括号看看，知道：
u2n=(1−12)+(13−14)+..+((−1)2n−12n−1−(−1)2n2n)u_{2n} = (1-\frac{1}{2}) + (\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+..+(\frac{(-1)^{2n-1}}{2n-1}- \frac{(-1)^{2n}}{2n})

可见，limn→∞un≠0\lim_{n\rightarrow \infty}u_n \neq 0

不满足收敛的必要条件。所以发散。

而第二个内部很显然元素也不趋近于0，不满足收敛条件，因此，也是发散。

总之，这是一种光环效应的命题方式，引导我们关注常见的简单的级数，实际上越是简单越是需要加倍小心。

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