海伦公式的证明——杨子曰数学

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瞎BB：我之所以会推这样一篇博客是为了练习一下MarkDown数学公式的语法
再瞎BB一句：不要一提到海伦，脑子里就浮现出一个女人的画面，这里的海伦是一个男的！男的！男的！

相信大家在刚刚开始打代码，懵懂无知的时候一定打过一道题叫海伦公式——输入三角形三条边输出三角形的面积（说没打过的你够了），那大家有没有一颗好奇的心（没有）思考过为什么海伦公式是正确的呢？
我在这里给大家提供一种相对比较简单的证明方法，你只要有一点点的三角函数基础，知道余弦定理，会一点点的代数就可以证明了，然后你就可以像我一样四处装逼
黑喂狗：

S△ABC=12absin⁡cS_{△ABC}=\frac{1}{2}ab \sin c S△ABC=21absinc
S△ABC=12ab1−cos⁡2c（sin2α+cos2α=1）S_{△ABC}=\frac{1}{2}ab\sqrt{1-\cos^2 c}（sin^2α+cos^2α=1）S△ABC=21ab1−cos2c（sin2α+cos2α=1）
S△ABC=12ab1−(a2+b2−c2)24a2b2(余弦定理)S_{△ABC}=\frac{1}{2}ab\sqrt{1-\frac{(a^2+b^2-c^2)^2}{4a^2b^2}}(余弦定理)S△ABC=21ab1−4a2b2(a2+b2−c2)2(余弦定理)
S△ABC=12ab(2ab)2−(a2+b2−c2)24a2b2S_{△ABC}=\frac{1}{2}ab\sqrt{\frac{(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2}{4a^2b^2}}S△ABC=21ab4a2b2(2ab)2−(a2+b2−c2)2
S△ABC=a2b24∗(2ab)2−(a2+b2−c2)24a2b2S_{△ABC}=\sqrt{\frac{a^2b^2}{4}*\frac{(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2}{4a^2b^2}}S△ABC=4a2b2∗4a2b2(2ab)2−(a2+b2−c2)2
S△ABC=(2ab−a2−b2+c2)(2ab+a2+b2−c2)16（平方差公式）S_{△ABC}=\sqrt{\frac{(2ab-a^2-b^2+c^2)(2ab+a^2+b^2-c^2)}{16}}（平方差公式）S△ABC=16(2ab−a2−b2+c2)(2ab+a2+b2−c2)（平方差公式）
S△ABC=(−(a−b)2+c2)((a+b)2−c2)16（完全平方公式）S_{△ABC}=\sqrt{\frac{(-(a-b)^2+c^2)((a+b)^2-c^2)}{16}}（完全平方公式）S△ABC=16(−(a−b)2+c2)((a+b)2−c2)（完全平方公式）
S△ABC=(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)(a+b+c)16（平方差公式）S_{△ABC}=\sqrt{\frac{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)}{16}}（平方差公式）S△ABC=16(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)(a+b+c)（平方差公式）
S△ABC=−a+b+c2∗a−b+c2∗a+b−c2∗a+b+c2S_{△ABC}=\sqrt{\frac{-a+b+c}{2}*\frac{a-b+c}{2}*\frac{a+b-c}{2}*\frac{a+b+c}{2}}S△ABC=2−a+b+c∗2a−b+c∗2a+b−c∗2a+b+c
S△ABC=(p−a)∗(p−b)∗(p−c)∗pS_{△ABC}=\sqrt{(p-a)*(p-b)*(p-c)*p}S△ABC=(p−a)∗(p−b)∗(p−c)∗p

得证

可以说一下是怎么想到这样证明的：首先先要三角形的面积公式中于边有最密切关系的就是S△ABC=12absin⁡cS_{△ABC}=\frac{1}{2}ab \sin cS△ABC=21absinc但是有一个三角函数很碍事，So，我们考虑到能把三角函数变成边长的只有余弦定理，那我们就用sin2α+cos2α=1sin^2α+cos^2α=1sin2α+cos2α=1把正弦化成余弦，于是整个式子就只剩边长了，Then，我们就开始算呀算呀算，最后就化成了海伦公式

OK，完事
于XJ机房607

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