威尔逊定理证明——杨子曰数学

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这是一个很没有用的定理（没有任何实际应用价值，(´ｰ∀ｰ`)）：
( p − 1 ) ! ≡ p − 1 ( m o d p ) ( p 为质数 ) (p-1)!\equiv p-1 (mod \ p) \ \ \ \ \ (p为质数) (p−1)!≡p−1(mod p) (p为质数)

证明走起

设两个整数集合： M = [ 2 , p − 2 ] , N = [ 1 , p − 1 ] M=[2,p-2],N=[1,p-1] M=[2,p−2],N=[1,p−1]

设 a ∈ M ， x ∈ N a\in M，x\in N a∈M，x∈N

我们来证明第一件事情：a*x在x变化的时候模p下互不同余，即 a ∗ x m o d p a*x \ mod\ p a∗x mod p与x一一对应(一个显然的事实—— a ∗ x m o d p ∈ N ) a*x \ mod\ p\in N) a∗x mod p∈N)

我们使用反证法：

假设存在一对 x 1 > x 2 x_1 > x_2 x1>x2，有 a ∗ x 1 ≡ a ∗ x 2 ( m o d p ) a*x_1\equiv a*x_2\ (mod\ p) a∗x1≡a∗x2 (mod p)

然后就得到了：
a ∗ ( x 1 − x 2 ) ≡ 0 ( m o d p ) a*(x_1-x_2)\equiv \ 0(mod\ p) a∗(x1−x2)≡ 0(mod p)

观察一下这个式子：你会发现a和p互质， ( x 1 − x 2 ) (x_1-x_2) (x1−x2)和p互质，So，这个式子不可能成立，So，假设不成立，得证！

如果这样的话， a ∗ x m o d p a*x\ mod\ p a∗x mod p可以一一表示出集合N中的每一个元素

这就说明：对于任意一个a( a ∈ M a \in M a∈M)，都存在至少一个x( x ∈ N x \in N x∈N)，使得 a ∗ x ≡ 1 ( m o d p ) a*x\equiv1(mod\ p) a∗x≡1(mod p)下成立

好的，我们开始证明第二件事情：上面那个结论中的x一定取不到1，p-1,a

我依然使用反证法

一个一个来：

令x=1，得到 a ≡ 1 ( m o d p ) a\equiv1(mod\ p) a≡1(mod p)， a ∈ M a\in M a∈M取不到1，假设不成立；

令x=p-1，得到 ( p − 1 ) a ≡ 1 ( m o d p ) (p-1)a\equiv1(mod\ p) (p−1)a≡1(mod p)
p ∗ a − a ≡ 1 ( m o d p ) p*a-a\equiv1(mod\ p) p∗a−a≡1(mod p)
由于在模p下，So：
p − a ≡ 1 ( m o d p ) p-a\equiv1(mod\ p) p−a≡1(mod p)
a ≡ p − 1 ( m o d p ) a\equiv p-1(mod\ p) a≡p−1(mod p)

a ∈ M a\in M a∈M取不到p-1，假设不成立；

令x=a,得到 a 2 ≡ 1 ( m o d p ) a^2\equiv1(mod\ p) a2≡1(mod p)
a 2 − 1 ≡ 0 ( m o d p ) a^2-1\equiv0(mod\ p) a2−1≡0(mod p)
( a − 1 ) ∗ ( a + 1 ) ≡ 0 ( m o d p ) (a-1)*(a+1)\equiv0(mod\ p) (a−1)∗(a+1)≡0(mod p)

a ∈ M a\in M a∈M取不到1，也取不到p-1，假设不成立；

综上所述，对于任意一个a( a ∈ M a \in M a∈M)，都存在一个x( x ∈ N x \in N x∈N)，使得 a ∗ x ≡ 1 ( m o d p ) a*x\equiv1(mod\ p) a∗x≡1(mod p)下成立 x ≠ 1 , p − 1 , a x\neq1,p-1,a x=1,p−1,a

既然这样那么x一定属于集合M

即：对于任意一个a( a ∈ M a \in M a∈M)，都存在至少一个x( x ∈ M x \in M x∈M且 x ≠ a x\neq a x=a)，使得 a ∗ x ≡ 1 ( m o d p ) a*x\equiv1(mod\ p) a∗x≡1(mod p)下成立

好的，我们来证明第三件事情：上面那个结论中a和x( x ∈ M x \in M x∈M)是一一对应的关系

这个相当好证

我们还是使用反证法：

假设存在一对 a 1 > a 2 a_1 > a_2 a1>a2，有 a 1 ∗ x ≡ a 2 ∗ x ( m o d p ) a_1*x\equiv a_2*x\ (mod\ p) a1∗x≡a2∗x (mod p)

也就是 ( a 1 − a 2 ) ∗ x ≡ 0 ( m o d p ) (a_1-a_2)*x\equiv0(mod\ p) (a1−a2)∗x≡0(mod p)

因为 a 1 − a 2 a_1-a_2 a1−a2与p互质,x与p互质

So，假设不成立，得证，一个x只能对应一个a

然后继续使用反证法：

假设存在一对 x 1 > x 2 x_1> x_2 x1>x2，有 a ∗ x 1 ≡ a ∗ x 2 ( m o d p ) a*x_1\equiv a*x_2\ (mod\ p) a∗x1≡a∗x2 (mod p)

也就是 a ∗ ( x 1 − x 2 ) ≡ 0 ( m o d p ) a*(x_1-x_2)\equiv0(mod\ p) a∗(x1−x2)≡0(mod p)

因为a 与 p互质, x 1 − x 2 x_1-x_2 x1−x2与p互质

So，假设不成立，得证，一个a只能对应一个x

综上所述，a和x一一对应

即：对于任意一个a( a ∈ M a \in M a∈M)，都有且仅有一个x( x ∈ M x \in M x∈M且 x ≠ a x\neq a x=a)，使得 a ∗ x ≡ 1 ( m o d p ) a*x\equiv1(mod\ p) a∗x≡1(mod p)下成立

所以我们得到的是：在集合M里是一对一对的数，每一对中的两个数在模p下互为逆元（ x 1 ∗ x 2 ≡ 1 ( m o d p ) x_1*x_2\equiv1(mod\ p) x1∗x2≡1(mod p)，逆元？？）

终于来到了最最激动人心的时刻，我们终于要开始证明最终的结论了： ( p − 1 ) ! ≡ p − 1 ( m o d p ) ( p 为质数 ) (p-1)!\equiv p-1 (mod \ p) \ \ \ \ \ (p为质数) (p−1)!≡p−1(mod p) (p为质数)

首先， p = 2 , p = 3 p=2,p=3 p=2,p=3的情况经过一番手算，发现满足结论

那我们就只要关心 p ≥ 5 p\geq5 p≥5的情况：
( p − 1 ) ! = 1 ∗ 2 ∗ ⋯ ∗ ( p − 1 ) (p-1)!=1*2*\dots*(p-1) (p−1)!=1∗2∗⋯∗(p−1)
( p − 1 ) ! = ( 2 ∗ 3 ∗ ⋯ ∗ ( p − 2 ) ) ∗ ( p − 1 ) (p-1)!=(2*3*\dots*(p-2))*(p-1) (p−1)!=(2∗3∗⋯∗(p−2))∗(p−1)
现在我们看第一个括号里的东西，当 p ≥ 5 p\geq5 p≥5的时候第一个括号里必定是偶数项，而且都属于M，这样一来我们把这些数搞成一对一对，使得每一对在模p下互为逆元，这样乘起来就变成1了

哦！！！！！！！！！！

第一个括号乘起来模p就是1！！！

( p − 1 ) ! ≡ p − 1 ( m o d p ) ( p 为质数 ) (p-1)!\equiv p-1 (mod \ p) \ \ \ \ \ (p为质数) (p−1)!≡p−1(mod p) (p为质数)得证！

OK，完事

感谢可耐滴小慕容（而又是hgoicjl讲懂了可耐滴小慕容）的讲解

参考：https://www.jianshu.com/p/ad5bb5b8fa7d

于HG机房