错位排列——杨子曰数学

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首先，什么是错位排列？

就是你有1号物品，2号物品，3号物品……，它们都有自己对应的箱子：1号箱，2号箱，3号箱……

现在你把物品放到箱子里，结果一个物品也没有放对，全部都放错了，那么这个时候这些物品所构成的排列就被称为错位排列

接下来，我们来讨论错位排列怎么求，来简单推导一下错位排列总数的递推

我们用D[i]表示i个物品的错位排列总数

来看看D[n]怎么算，我们现在有n个物品，n个箱子：

我们来考虑第1个物品，它只要不放到第一个箱子就行，So，有(n-1)种选择

比方说我们把它放到2号箱子

现在我们来考虑2号物品怎么处理

我们要进行分类讨论了

2号物品放到1号箱子
一旦把2号物品放到1号箱子中以后，有没有发现剩下的3~n号物品就是一个新的错位排列了

So，这种情况有D[n-2]种选法
2号物品不放到1号箱子
2号物品不能放到1号箱子，那么这时的1号箱子，就相当于问题最开始的2号箱子，都不能装2号物品
于是你有没有发现，红框里又是一个新的错位排列问题了

那么这种情况就有D[n-1]种选法了

然后1号物品除了放在2号箱子，还可以放在3号，4号……共(n-1)种选择

综上所述，D[n]=(n−1)∗(D[n−1]+D[n−2])D[n]=(n-1)*(D[n-1]+D[n-2])D[n]=(n−1)∗(D[n−1]+D[n−2])

一个小小的递推公式无法满足我们的要求，接下来我们来推导它的通项公式

D[n]=(n−1)∗(D[n−1]+D[n−2])D[n]=(n-1)*(D[n-1]+D[n-2])D[n]=(n−1)∗(D[n−1]+D[n−2])
⟹D[n](n−1)!=D[n−1](n−2)!+D[n−2](n−2)!\Longrightarrow\frac{D[n]}{(n-1)!}=\frac{D[n-1]}{(n-2)!}+\frac{D[n-2]}{(n-2)!}⟹(n−1)!D[n]=(n−2)!D[n−1]+(n−2)!D[n−2]
令N[n]=D[n]n!则n∗N[n]=(n−1)∗N[n−1]+N[n−2]令N[n]=\frac{D[n]}{n!}\ \ \ 则n*N[n]=(n-1)*N[n-1]+N[n-2]令N[n]=n!D[n] 则n∗N[n]=(n−1)∗N[n−1]+N[n−2]
⟹N[n]=N[n−1]−N[n−1]n+N[n−2]n\Longrightarrow N[n]=N[n-1]-\frac{N[n-1]}{n}+\frac{N[n-2]}{n}⟹N[n]=N[n−1]−nN[n−1]+nN[n−2]
⟹N[n]−N[n−1]=−1n∗(N[n−1]−N[n−2])\Longrightarrow N[n]-N[n-1]=-\frac{1}{n}*(N[n-1]-N[n-2])⟹N[n]−N[n−1]=−n1∗(N[n−1]−N[n−2])
令H[n]=N[n+1]−N[n]则H[n−1]=−1n∗H[n−2]令H[n]=N[n+1]-N[n]\ \ \ 则H[n-1]=-\frac{1}{n}*H[n-2]令H[n]=N[n+1]−N[n] 则H[n−1]=−n1∗H[n−2]
又H[1]=N[2]−N[1]=D[2]2−D[1]1=12又H[1]=N[2]-N[1]=\frac{D[2]}{2}-\frac{D[1]}{1}=\frac{1}{2}又H[1]=N[2]−N[1]=2D[2]−1D[1]=21
⟹H[n]=(−1)n−1∗1(n+1)!\Longrightarrow H[n]=(-1)^{n-1}*\frac{1}{(n+1)!}⟹H[n]=(−1)n−1∗(n+1)!1
⟹N[n]−N[n−1]=H[n−1]=(−1)n∗1n!\Longrightarrow N[n]-N[n-1]=H[n-1]=(-1)^n*\frac{1}{n!}⟹N[n]−N[n−1]=H[n−1]=(−1)n∗n!1
又N[1]=D[1]1=0又N[1]=\frac{D[1]}{1}=0又N[1]=1D[1]=0
⟹N[n]=12!−13!+⋯+(−1)n∗1n!\Longrightarrow N[n]=\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots+(-1)^n*\frac{1}{n!}⟹N[n]=2!1−3!1+⋯+(−1)n∗n!1
⟹D[n]=n!∗(12!−13!+⋯+(−1)n∗1n!)\Longrightarrow D[n]=n!*(\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots+(-1)^n*\frac{1}{n!})⟹D[n]=n!∗(2!1−3!1+⋯+(−1)n∗n!1)

OK，完事

参考：
https://bubbleioa.blog.luogu.org/solution-p4071

于HG机房

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