初等数论——欧几里得算法

参考图书：《程序设计算法基础》梁冰第10章初等数论 10.2最大公约数和扩展欧几里得算法

最大公约数（Greatest Common Divisor，GCD）为几个整数的公约数中最大的一个，一般求解最大公约数的算法有列举法、质因数分解法和欧几里得算法等。

其中，效率较高且在算法竞赛中最常用欧几里得算法求最大公约数。

欧几里得算法

欧几里得算法（Euclidean algorithm）又称辗转相除法，用于计算两个正整数a、b的最大公约数。

定理：gcd(a,b) = gcd(b, a mod b) (b != 0)

写成分段函数的形式：

则欧几里得算法的递归求解方式如下：

//求两个非负整数的最大公约数
int GCD(int a, int b)
{return b ? GCD(b, a % b) : a;
}

非递归形式：

int GCD(int a, int b)
{while(b != 0) {swap(a, b);b %= a;}return a;
}

在求多个整数的最大公约数的情况下，先求出前两个数的最大公约数，在用得到的最大公约数与第三个数进行最大公约数的运算，即可得到前三个数的最大公约数，用此方法不断迭代下去即可得到这些数的最大公约数。

两个整数的最小公倍数（Least Common Multiple，LCM）的计算可以利用最大公约数的结果 $ab/gcd(a,b)$ ，证明如下：

程序如下：

//求解两个非负整数的最小公倍数
int LCM(int a, int b)
{return a / gcb(a,b) * b;//为防止a*b超过整数类型范围，先将a的最大公约数约掉
}

扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法（Extended Euclidean algorithm）是用来咋已知a，b的条件下求解一组x，y使得 $ax+by=gcd(a,b)$ （根据数论中的相关定理，解一定存在），其中a、b、x、y都为整数。将这样的方程称为线性同余方程。

求解代码：

//求解使ax + by = gcd(a,b)成立的x，y的解，返回 a 和 b 的最大公约数
int EX_GCD(int a, int b, int &x, int &y)
{if(b == 0){x=1,y=0;return a;}int g = EX_GCD(b, a % b, y, x);y -= a/b * x;return g;
}

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