一、1390.四因数

1.题目

1390.四因数

给你一个整数数组 nums，请你返回该数组中恰有四个因数的这些整数的各因数之和。
如果数组中不存在满足题意的整数，则返回 0 。
1 <= nums.length <= 10⁴
1 <= nums[i] <= 10⁵

2.分析

这道题涉及到的知识点：

等比数列求和：Sn=a1+a1q+a1q2+...+a1qn−1=a1(1−qn)(1−q)S_n = a_1 + a_1q + a_1q^2 + ... + a_1q^{n-1} = {a_1(1 - q^n) \over (1-q)}Sn=a1+a1q+a1q2+...+a1qn−1=(1−q)a1(1−qn)，这条公式有助于下面公式的理解。
关于因子数与因子和：
定义1：因子和函数 σ 定义为整数n所有正因子之和，记为σ(n)σ_{(n)}σ(n)
定义2：因子个数函数 τ 定义为正整数n的所有正因子个数，记为τ(n)τ_{(n)}τ(n).
定理1：设 p 是一个素数，a 是一个正整数,那么
σ(pa)=1+p+p2+p3+...+pa=(pa+1−1)/(p−1)σ_{(p^a)} = 1 + p + p^2 + p^3 + ... + p^a = (p^{a+1} - 1)/(p - 1)σ(pa)=1+p+p2+p3+...+pa=(pa+1−1)/(p−1)
τ(pa)=a+1，（pa的因子为1，p，p2，...pa）τ_{(p^a)} = a + 1，（p^a的因子为1，p，p^2，...p^a）τ(pa)=a+1，（pa的因子为1，p，p2，...pa）
定理2：设正整数n有素因子分解n=p1a1∗p2a2∗.....psas（唯一分解定理）n = p_1^{a_1} ∗ p_2^{a_2} ∗ . . . . . p_s^{a_s}（唯一分解定理）n=p1a1∗p2a2∗.....psas（唯一分解定理）
因子和：σ(n)=(p1a1+1−1)/(p1−1)∗(p2a2+1−1)/(p2−1)...(psas+1−1)/(ps−1)=∏i=1s(piai+1−1)/(pi−1)σ_{(n)} = (p_1^{a_1+1} - 1)/(p_1 - 1) * (p_2^{a_2+1} - 1)/(p_2 - 1)...(p_s^{a_s+1} - 1)/(p_s - 1) = \prod_{i=1}^s(p_i^{a_i+1} - 1)/(p_i - 1)σ(n)=(p1a1+1−1)/(p1−1)∗(p2a2+1−1)/(p2−1)...(psas+1−1)/(ps−1)=∏i=1s(piai+1−1)/(pi−1)
因子数：τ(n)=(a1+1)∗(a2+1)∗...∗(as+1)=∏i=1sai+1τ_{(n)} = (a_1 + 1)*(a_2 + 1)*...*(a_s + 1) = \prod_{i=1}^sa_i + 1τ(n)=(a1+1)∗(a2+1)∗...∗(as+1)=∏i=1sai+1

这道题返回所有四因子整数的因子和，因此需要结合定理2的两条公式：

遍历数组，取到每一个数。
对每一个数 num，遍历 [ 2 , num\sqrt {num}num ]，当遇到一个能整除 num 的数 i，则 while 循环一直除以 i，直到不能再被 i 整除为止，期间分别记录除以 i 的次数（作为因子数公式的 aia_iai）以及乘积（作为piaip_i^{a_i}piai），并代入定理2公式求因子和与因子数。
最后判断，因子数 count 是否等于4，不等于4则跳过执行下一循环，等于4则加上该数因子和。

优化：

看了题解发现了可以优化的地方，

在 while 循环结束后，计算完因子数 count 初步的值，就可以判断 num > 1 的数因子数 count 是否大于2。
因为后续因子数要乘2，如果此时已经大于2，则最后得到的因子数必然大于4，在这里就可以直接跳出循环。

3.代码

    public int sumFourDivisors(int[] nums) {//所有因子数之和int i,result = 0;for (int num : nums) {//因子数int count = 1;//因子和int sum = 1;for (i = 2;i * i <= num;i++){if (num % i == 0){int a = 0;int t = 1;while (num % i == 0){num /= i;a++;t *= i;}count *= (a + 1);sum *= ((t * i - 1) / (i - 1));}}if (num > 1){count *= 2;sum *= (num + 1);}if (count != 4){continue;}result += sum;}return result;}

优化后：

    public int sumFourDivisors(int[] nums) {//所有因子数之和int i,result = 0;for (int num : nums) {int count = 1;int sum = 1;for (i = 2;i * i <= num;i++){if (num % i == 0){int a = 0;int t = 1;while (num % i == 0){num /= i;a++;t *= i;}count *= (a + 1);//因为最后还有*2 所有这里>2的时候 因子数就会大于4if (count > 2 && num >1) {break;}sum *= ((t * i - 1) / (i - 1));}}if (num > 1){count *= 2;sum *= (num + 1);}if (count != 4){continue;}result += sum;}return result;}

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