数学分析笔记——总目录

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L'Hospital 法则
- 函数极限中的待定型
- 处理 00\frac{0}{0}00 型的 L'Hospital 法则
- 处理 ∗∞\frac{*}{\infty}∞∗ 型的L'Hospital 法则
- 参考文献

L’Hospital 法则

函数极限中的待定型

\quad接下来，我们只讨论如何使用 L’Hospital 法则处理 00\frac{0}{0}00 型待定型以及 ∗∞\frac{*}{\infty}∞∗ 型待定型。其他形式的待定型均可通过适当的变换转换为这两种形式。

\quad事实上，在函数极限中，

自变量有 666 种趋近方式： x→x0x \rightarrow x_0x→x0、x→x0+x \rightarrow x_0+x→x0+、x→x0−x \rightarrow x_0-x→x0−、x→∞x \rightarrow \inftyx→∞、x→+∞x \rightarrow +\inftyx→+∞ 以及 x→−∞x \rightarrow -\inftyx→−∞ ；
因变量有 444 种趋近方式：f(x)→A(A∈R)f(x) \rightarrow A(A \in \mathbb{R})f(x)→A(A∈R)、f(x)→∞f(x) \rightarrow \inftyf(x)→∞、f(x)→+∞f(x) \rightarrow +\inftyf(x)→+∞、f(x)→−∞f(x) \rightarrow -\inftyf(x)→−∞；

再者，L’Hospital 法则分别处理以下两种形式：

00\frac{0}{0}00 型待定型；
∗∞\frac{*}{\infty}∞∗ 型待定型。

如此一来，需要证明 484848 种不同的情形。

处理 00\frac{0}{0}00 型的 L’Hospital 法则

定理 1（L’Hospital法则）：设函数 f(x)f(x)f(x)、g(x)g(x)g(x) 在 (x0,x0+ρ)(x_0,x_0+\rho)(x0,x0+ρ) 上可导（ρ>0\rho>0ρ>0），若满足：

lim⁡x→x0+f(x)=lim⁡x→x0+g(x)=0\underset{x \rightarrow x_0+}{\lim}f(x)=\underset{x \rightarrow x_0+}{\lim}g(x)=0x→x0+limf(x)=x→x0+limg(x)=0;
g′(x)≠0g'(x)\ne0g′(x)=0；
lim⁡x→x0+f′(x)g′(x)=A(A为有限数，或±∞)\underset{x \rightarrow x_0+}{\lim}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A(A\text{为有限数，或}\pm \infty)x→x0+limg′(x)f′(x)=A(A为有限数，或±∞)，

则
lim⁡x→x0+f(x)g(x)=lim⁡x→x0+f′(x)g′(x)=A.\underset{x \rightarrow x_0+}{\lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x \rightarrow x_0+}{\lim}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A. x→x0+limg(x)f(x)=x→x0+limg′(x)f′(x)=A.

证明：

\quad由于趋于一点的极限与在该点处的函数值没有关系，因此可补充定义
f(x0)=g(x0)=0.f(x_0)=g(x_0)=0. f(x0)=g(x0)=0.
此时，f(x)f(x)f(x)、g(x)g(x)g(x) 均在点 x0x_0x0 右连续。

\quad任取 x∈(x0,x0+ρ)x \in (x_0,x_0+\rho)x∈(x0,x0+ρ)，则在区间 [x0,x][x_0,x][x0,x] 上应用 Cauchy中值定理，存在 ξ∈(x0,x)\xi \in (x_0,x)ξ∈(x0,x)，使得
f(x)g(x)=f(x)−0g(x)−0=f(x)−f(x0)g(x)−g(x0)=f′(ξ)g′(ξ).\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-0}{g(x)-0}=\frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}. g(x)f(x)=g(x)−0f(x)−0=g(x)−g(x0)f(x)−f(x0)=g′(ξ)f′(ξ).
\quad当 x→x0+x\rightarrow x_0+x→x0+ 时，显然有 ξ→x0+\xi \rightarrow x_0+ξ→x0+，于是
lim⁡x→x0−f(x)g(x)=lim⁡ξ→x0+f′(ξ)g′(ξ)=ξ换符号xlim⁡x→x0+f′(x)g′(x)=A.\underset{x\rightarrow x_0-}{\lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{\xi \rightarrow x_0+}{\lim}\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\xlongequal{\xi \quad \text{换符号}\quad x}\underset{x \rightarrow x_0+}{\lim}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A. x→x0−limg(x)f(x)=ξ→x0+limg′(ξ)f′(ξ)ξ换符号xx→x0+limg′(x)f′(x)=A.
\quad该证明适用 AAA 为有限数、±∞\pm\infty±∞ 的所有情形。综上，定理得证。

证毕

定理 2（L’Hospital法则）：设函数 f(x)f(x)f(x)、g(x)g(x)g(x) 在 (x0−ρ,x0)(x_0-\rho,x_0)(x0−ρ,x0) 上可导（ρ>0\rho>0ρ>0），若满足：

lim⁡x→x0−f(x)=lim⁡x→x0−g(x)=0\underset{x \rightarrow x_0-}{\lim}f(x)=\underset{x \rightarrow x_0-}{\lim}g(x)=0x→x0−limf(x)=x→x0−limg(x)=0;
g′(x)≠0g'(x)\ne0g′(x)=0；
lim⁡x→x0−f′(x)g′(x)=A(A为有限数，或±∞)\underset{x \rightarrow x_0-}{\lim}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A(A\text{为有限数，或}\pm \infty)x→x0−limg′(x)f′(x)=A(A为有限数，或±∞)，

则
lim⁡x→x0−f(x)g(x)=lim⁡x→x0−f′(x)g′(x)=A.\underset{x \rightarrow x_0-}{\lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x \rightarrow x_0-}{\lim}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A. x→x0−limg(x)f(x)=x→x0−limg′(x)f′(x)=A.

证明：

\quad与 定理 1 的证明方式完全相同。由于函数趋于一点的极限与在该点处的函数值没有关系，因此可补充定义
f(x0)=g(x0)=0.f(x_0)=g(x_0)=0. f(x0)=g(x0)=0.
此时，f(x)f(x)f(x)、g(x)g(x)g(x) 均在点 x0x_0x0 右连续。

\quad任取 x∈(x0−ρ,x0)x \in (x_0-\rho,x_0)x∈(x0−ρ,x0)，则在区间 [x,x0][x,x_0][x,x0] 上应用 Cauchy中值定理，存在 ξ∈(x,x0)\xi \in (x,x_0)ξ∈(x,x0)，使得
f(x)g(x)=f(x)−0g(x)−0=f(x)−f(x0)g(x)−g(x0)=f′(ξ)g′(ξ).\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-0}{g(x)-0}=\frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}. g(x)f(x)=g(x)−0f(x)−0=g(x)−g(x0)f(x)−f(x0)=g′(ξ)f′(ξ).
\quad当 x→x0−x\rightarrow x_0-x→x0− 时，显然有 ξ→x0−\xi \rightarrow x_0-ξ→x0−，于是
lim⁡x→x0−f(x)g(x)=lim⁡ξ→x0−f′(ξ)g′(ξ)=ξ换符号xlim⁡x→x0−f′(x)g′(x)=A.\underset{x\rightarrow x_0-}{\lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{\xi \rightarrow x_0-}{\lim}\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\xlongequal{\xi \quad \text{换符号}\quad x}\underset{x \rightarrow x_0-}{\lim}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A. x→x0−limg(x)f(x)=ξ→x0−limg′(ξ)f′(ξ)ξ换符号xx→x0−limg′(x)f′(x)=A.

证毕

\quad作为 定理 1，定理 2 的综合，有下面 定理 3。

定理 3（L’Hospital法则）：设函数 f(x)f(x)f(x)、g(x)g(x)g(x) 在点 x0x_0x0 的某个邻域 O(x0,ρ)O(x_0,\rho)O(x0,ρ) 上可导（ρ>0\rho>0ρ>0），若满足：

lim⁡x→x0f(x)=lim⁡x→x0g(x)=0\underset{x \rightarrow x_0}{\lim}f(x)=\underset{x \rightarrow x_0}{\lim}g(x)=0x→x0limf(x)=x→x0limg(x)=0;
g′(x)≠0g'(x)\ne0g′(x)=0；
lim⁡x→x0f′(x)g′(x)=A(A为有限数，或±∞)\underset{x \rightarrow x_0}{\lim}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A(A\text{为有限数，或}\pm \infty)x→x0limg′(x)f′(x)=A(A为有限数，或±∞)，

则
lim⁡x→x0f(x)g(x)=lim⁡x→x0f′(x)g′(x)=A.\underset{x \rightarrow x_0}{\lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x \rightarrow x_0}{\lim}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A. x→x0limg(x)f(x)=x→x0limg′(x)f′(x)=A.

证明：

\quad由于函数趋于一点的极限与在该点处的函数值没有关系，因此可补充定义
f(x0)=g(x0)=0.f(x_0)=g(x_0)=0. f(x0)=g(x0)=0.
此时，f(x)f(x)f(x)、g(x)g(x)g(x) 均在点 x0x_0x0 右连续。

\quad任取 x∈O(x0,ρ)x \in O(x_0,\rho)x∈O(x0,ρ)，则在区间 [x,x0][x,x_0][x,x0] （或 [x0,x][x_0,x][x0,x]）上应用 Cauchy中值定理，存在 ξ∈(x,x0)\xi \in (x,x_0)ξ∈(x,x0)，使得
f(x)g(x)=f(x)−0g(x)−0=f(x)−f(x0)g(x)−g(x0)=f′(ξ)g′(ξ).\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-0}{g(x)-0}=\frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}. g(x)f(x)=g(x)−0f(x)−0=g(x)−g(x0)f(x)−f(x0)=g′(ξ)f′(ξ).
\quad当 x→x0x\rightarrow x_0x→x0 时，显然有 ξ→x0\xi \rightarrow x_0ξ→x0，于是
lim⁡x→x0f(x)g(x)=lim⁡ξ→x0f′(ξ)g′(ξ)=ξ换符号xlim⁡x→x0f′(x)g′(x)=A.\underset{x\rightarrow x_0}{\lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{\xi \rightarrow x_0}{\lim}\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\xlongequal{\xi \quad \text{换符号}\quad x}\underset{x \rightarrow x_0}{\lim}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A. x→x0limg(x)f(x)=ξ→x0limg′(ξ)f′(ξ)ξ换符号xx→x0limg′(x)f′(x)=A.

证毕

定理 4（L’Hospital）：设函数 f(a)f(a)f(a)、g(x)g(x)g(x) 在 [a,+∞)[a,+\infty)[a,+∞) 上可导，若满足：

lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞g(x)=0\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim}f(x)=\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim}g(x)=0x→+∞limf(x)=x→+∞limg(x)=0；
g′(x)≠0g'(x)\ne 0g′(x)=0；
lim⁡x→+∞f′(x)g′(x)=A(A为有限数，或±∞)\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A(A\text{为有限数，或}\pm \infty)x→+∞limg′(x)f′(x)=A(A为有限数，或±∞)，

则
lim⁡x→+∞f(x)g(x)=lim⁡x→+∞f′(x)g′(x)=A.\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A. x→+∞limg(x)f(x)=x→+∞limg′(x)f′(x)=A.

证明：

\quad令 x=1tx=\frac{1}{t}x=t1，则 F(t)=f(x)=f(1t)F(t)=f(x)=f(\frac{1}{t})F(t)=f(x)=f(t1)，G(t)=g(x)=g(1t)G(t)=g(x)=g(\frac{1}{t})G(t)=g(x)=g(t1)，当 x→+∞x \rightarrow +\inftyx→+∞ 时，t→0+t \rightarrow 0+t→0+。

\quad此时，定理条件变为
lim⁡t→0+F(t)=lim⁡t→0+G(t)=0,F′(t)=−1t2⋅f′(1t),G′(t)=−1t2⋅g′(1t)≠0,\underset{t \rightarrow 0+}{\lim}F(t)=\underset{t \rightarrow 0+}{\lim}G(t)=0,\quad F'(t)=-\frac{1}{t^2}\cdot f'(\frac{1}{t}),\quad G'(t)=-\frac{1}{t^2}\cdot g'(\frac{1}{t})\ne0,\quad t→0+limF(t)=t→0+limG(t)=0,F′(t)=−t21⋅f′(t1),G′(t)=−t21⋅g′(t1)=0,
以及
lim⁡t→0+F′(t)G′(t)=lim⁡t→0+−1t2⋅f′(1t)−1t2⋅g′(1t)=A(A为有限数，或±∞).\underset{t \rightarrow 0+}{\lim}\frac{F'(t)}{G'(t)}=\underset{t \rightarrow 0+}{\lim}\frac{-\frac{1}{t^2}\cdot f'(\frac{1}{t})}{-\frac{1}{t^2}\cdot g'(\frac{1}{t})}=A\quad(A为有限数，或\pm\infty). t→0+limG′(t)F′(t)=t→0+lim−t21⋅g′(t1)−t21⋅f′(t1)=A(A为有限数，或±∞).
于是，由 定理1 知，
lim⁡x→+∞f(x)g(x)=lim⁡t→0+F(t)G(t)=A.\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{t \rightarrow 0+}{\lim}\frac{F(t)}{G(t)}=A. x→+∞limg(x)f(x)=t→0+limG(t)F(t)=A.

证毕

定理 5（L’Hospital）：设函数 f(a)f(a)f(a)、g(x)g(x)g(x) 在 (−∞,a](-\infty,a](−∞,a] 上可导，若满足：

lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→−∞g(x)=0\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim}f(x)=\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim}g(x)=0x→−∞limf(x)=x→−∞limg(x)=0；
g′(x)≠0g'(x)\ne 0g′(x)=0；
lim⁡x→−∞f′(x)g′(x)=A(A为有限数，或±∞)\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A(A\text{为有限数，或}\pm \infty)x→−∞limg′(x)f′(x)=A(A为有限数，或±∞)，

则
lim⁡x→−∞f(x)g(x)=lim⁡x→−∞f′(x)g′(x)=A.\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A. x→−∞limg(x)f(x)=x→−∞limg′(x)f′(x)=A.

证明：

\quad令 x=1tx=\frac{1}{t}x=t1，则 F(t)=f(x)=f(1t)F(t)=f(x)=f(\frac{1}{t})F(t)=f(x)=f(t1)，G(t)=g(x)=g(1t)G(t)=g(x)=g(\frac{1}{t})G(t)=g(x)=g(t1)，当 x→−∞x \rightarrow -\inftyx→−∞ 时，t→0−t \rightarrow 0-t→0−。此时，定理条件变为
lim⁡t→0−F(t)=lim⁡t→0−G(t)=0,F′(t)=−1t2⋅f′(1t),G′(t)=−1t2⋅g′(1t)≠0,\underset{t \rightarrow 0-}{\lim}F(t)=\underset{t \rightarrow 0-}{\lim}G(t)=0,\quad F'(t)=-\frac{1}{t^2}\cdot f'(\frac{1}{t}),\quad G'(t)=-\frac{1}{t^2}\cdot g'(\frac{1}{t})\ne0,\quad t→0−limF(t)=t→0−limG(t)=0,F′(t)=−t21⋅f′(t1),G′(t)=−t21⋅g′(t1)=0,
以及
lim⁡t→0−F′(t)G′(t)=lim⁡t→0−−1t2⋅f′(1t)−1t2⋅g′(1t)=A(A为有限数，或±∞).\underset{t \rightarrow 0-}{\lim}\frac{F'(t)}{G'(t)}=\underset{t \rightarrow 0-}{\lim}\frac{-\frac{1}{t^2}\cdot f'(\frac{1}{t})}{-\frac{1}{t^2}\cdot g'(\frac{1}{t})}=A\quad(A为有限数，或\pm\infty). t→0−limG′(t)F′(t)=t→0−lim−t21⋅g′(t1)−t21⋅f′(t1)=A(A为有限数，或±∞).
于是，由 定理2 知，
lim⁡x→−∞f(x)g(x)=lim⁡t→0−F(t)G(t)=A.\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{t \rightarrow 0-}{\lim}\frac{F(t)}{G(t)}=A. x→−∞limg(x)f(x)=t→0−limG(t)F(t)=A.

证毕

\quad作为 定理 4 与 定理 5 的综合，有下面的 定理 6。

定理 6（L’Hospital）：设函数 f(a)f(a)f(a)、g(x)g(x)g(x) 在 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty)(−∞,+∞) 上可导，若满足：

lim⁡x→∞f(x)=lim⁡x→∞g(x)=0\underset{x \rightarrow \infty}{\lim}f(x)=\underset{x \rightarrow \infty}{\lim}g(x)=0x→∞limf(x)=x→∞limg(x)=0；
g′(x)≠0g'(x)\ne 0g′(x)=0；
lim⁡x→∞f′(x)g′(x)=A(A为有限数，或±∞)\underset{x \rightarrow \infty}{\lim}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A(A\text{为有限数，或}\pm \infty)x→∞limg′(x)f′(x)=A(A为有限数，或±∞)，

则
lim⁡x→∞f(x)g(x)=lim⁡x→∞f′(x)g′(x)=A.\underset{x \rightarrow \infty}{\lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x \rightarrow \infty}{\lim}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A. x→∞limg(x)f(x)=x→∞limg′(x)f′(x)=A.

处理 ∗∞\frac{*}{\infty}∞∗ 型的L’Hospital 法则

定理 7（L’Hospital）：设函数 f(x)f(x)f(x)、g(x)g(x)g(x) 在 (x0,x0+ρ)(x_0,x_0+\rho)(x0,x0+ρ) 上可导（ρ>0\rho>0ρ>0），若满足：

lim⁡x→x0+g(x)=∞\underset{x \rightarrow x_0+}{\lim}g(x)=\inftyx→x0+limg(x)=∞;
g′(x)≠0g'(x)\ne0g′(x)=0；
lim⁡x→x0+f′(x)g′(x)=A(A为有限数，或±∞)\underset{x \rightarrow x_0+}{\lim}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A(A\text{为有限数，或}\pm \infty)x→x0+limg′(x)f′(x)=A(A为有限数，或±∞)，

证明：

\quad当 −∞<A<+∞-\infty<A <+\infty−∞<A<+∞ 时，由于 lim⁡x→x0+f′(x)g′(x)=A\underset{x \rightarrow x_0+}{\lim}\frac{f'(x)}{g'(x)}=Ax→x0+limg′(x)f′(x)=A，所以对于任意给定的 ϵ>0\epsilon>0ϵ>0，存在 d1d_1d1（0<d1<ρ0<d_1<\rho0<d1<ρ），当 0<x−x0<d10<x-x_0<d_10<x−x0<d1 时，成立
∣f′(x)g′(x)−A∣<ϵ.\left|\frac{f'(x)}{g'(x)}-A\right|<\epsilon. ∣∣∣∣g′(x)f′(x)−A∣∣∣∣<ϵ.
令 a=x0+d1a=x_0+d_1a=x0+d1，任取 x∈(x0,a]x \in (x_0,a]x∈(x0,a]，在 [x,a][x,a][x,a] 上使用 Cauchy 中值定理，存在 ξ∈(x,a)\xi \in (x,a)ξ∈(x,a)，使得
f(x)−f(a)g(x)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ),\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}, g(x)−g(a)f(x)−f(a)=g′(ξ)f′(ξ),
于是得到
∣f(x)−f(a)g(x)−g(a)−A∣=∣f′(ξ)g′(ξ)−A∣<ϵ.\left|\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}-A \right|=\left|\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}-A\right|<\epsilon. ∣∣∣∣g(x)−g(a)f(x)−f(a)−A∣∣∣∣=∣∣∣∣g′(ξ)f′(ξ)−A∣∣∣∣<ϵ.
\quad此外，对于 ∀x∈(x,a)\forall x \in (x,a)∀x∈(x,a)，成立
f(x)g(x)=f(x)−f(a)g(x)+g(a)g(x)=g(x)−g(a)g(x)⋅f(x)−f(a)g(x)−g(a)+f(a)g(x).\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)}+\frac{g(a)}{g(x)}=\frac{g(x)-g(a)}{g(x)}\cdot\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}+\frac{f(a)}{g(x)}. g(x)f(x)=g(x)f(x)−f(a)+g(x)g(a)=g(x)g(x)−g(a)⋅g(x)−g(a)f(x)−f(a)+g(x)f(a).
于是，
∣f(x)g(x)−A∣=∣g(x)−g(a)g(x)⋅f(x)−f(a)g(x)−g(a)+f(a)g(x)−A∣=∣(1−g(a)g(x))⋅(f(x)−f(a)g(x)−g(a)−A)+f(a)−A⋅g(a)g(x)∣≤∣1−g(a)g(x)∣⋅∣f(x)−f(a)g(x)−g(a)−A∣+∣f(a)−A⋅g(a)g(x)∣.\begin{aligned} \left|\frac{f(x)}{g(x)}-A\right|&=\left|\frac{g(x)-g(a)}{g(x)}\cdot\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}+\frac{f(a)}{g(x)}-A\right| \\ &=\left|\left(1-\frac{g(a)}{g(x)}\right)\cdot \left(\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}-A\right)+\frac{f(a)-A\cdot g(a)}{g(x)}\right| \\ &\le \left|1-\frac{g(a)}{g(x)}\right|\cdot \left|\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}-A \right|+\left|\frac{f(a)-A\cdot g(a)}{g(x)}\right|. \end{aligned} ∣∣∣∣g(x)f(x)−A∣∣∣∣=∣∣∣∣g(x)g(x)−g(a)⋅g(x)−g(a)f(x)−f(a)+g(x)f(a)−A∣∣∣∣=∣∣∣∣(1−g(x)g(a))⋅(g(x)−g(a)f(x)−f(a)−A)+g(x)f(a)−A⋅g(a)∣∣∣∣≤∣∣∣∣1−g(x)g(a)∣∣∣∣⋅∣∣∣∣g(x)−g(a)f(x)−f(a)−A∣∣∣∣+∣∣∣∣g(x)f(a)−A⋅g(a)∣∣∣∣.
由于 lim⁡x→x0+g(x)=∞\underset{x\rightarrow x_0+}{\lim}g(x)=\inftyx→x0+limg(x)=∞，所以存在 d2d_2d2（0<d2<d10<d_2<d_10<d2<d1），使得当 0<x−x0<d20<x-x_0<d_20<x−x0<d2 时，成立
∣1−g(a)g(x)∣<2,∣f(x)−A⋅g(a)g(x)∣<ϵ.\left|1-\frac{g(a)}{g(x)}\right|<2,\quad \left|\frac{f(x)-A\cdot g(a)}{g(x)}\right|<\epsilon. ∣∣∣∣1−g(x)g(a)∣∣∣∣<2,∣∣∣∣g(x)f(x)−A⋅g(a)∣∣∣∣<ϵ.
\quad综上所述，对于任意给定的 ϵ>0\epsilon>0ϵ>0，存在 d2>0d_2>0d2>0，当 0<x−x0<d20<x-x_0<d_20<x−x0<d2 时，成立
∣f(x)g(x)−A∣≤∣1−g(a)g(x)∣⋅∣f(x)−f(a)g(x)−g(a)−A∣+∣f(a)−A⋅g(a)g(x)∣<2ϵ+ϵ=3ϵ.\left|\frac{f(x)}{g(x)}-A\right|\le \left|1-\frac{g(a)}{g(x)}\right|\cdot \left|\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}-A \right|+\left|\frac{f(a)-A\cdot g(a)}{g(x)}\right|<2\epsilon+\epsilon=3\epsilon. ∣∣∣∣g(x)f(x)−A∣∣∣∣≤∣∣∣∣1−g(x)g(a)∣∣∣∣⋅∣∣∣∣g(x)−g(a)f(x)−f(a)−A∣∣∣∣+∣∣∣∣g(x)f(a)−A⋅g(a)∣∣∣∣<2ϵ+ϵ=3ϵ.
由定义，即得
lim⁡x→x0+f(x)g(x)=lim⁡x→x0+f′(x)g′(x)=A.\underset{x \rightarrow x_0+}{\lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x \rightarrow x_0+}{\lim}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A. x→x0+limg(x)f(x)=x→x0+limg′(x)f′(x)=A.
\quad当 A=+∞A=+\inftyA=+∞ 时，由于 lim⁡x→x0+f′(x)g′(x)=+∞\underset{x \rightarrow x_0+}{\lim}\frac{f'(x)}{g'(x)}=+\inftyx→x0+limg′(x)f′(x)=+∞，所以对于任意给定的 G>0G>0G>0，存在 d3d_3d3（0<d3<ρ0<d_3<\rho0<d3<ρ），使得当 0<x−x0<d30<x-x_0<d_30<x−x0<d3 时，成立
f′(x)g′(x)>G.\frac{f'(x)}{g'(x)}>G. g′(x)f′(x)>G.
令 a=x0+d3a=x_0+d_3a=x0+d3，任取 x∈(x0,a]x \in (x_0,a]x∈(x0,a]，在 [x,a][x,a][x,a] 上使用 Cauchy 中值定理，存在 ξ∈(x,a)\xi \in (x,a)ξ∈(x,a)，使得
f(x)−f(a)g(x)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ)>G.\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}>G. g(x)−g(a)f(x)−f(a)=g′(ξ)f′(ξ)>G.
由于 lim⁡x→x0+g(x)=∞\underset{x\rightarrow x_0+}{\lim}g(x)=\inftyx→x0+limg(x)=∞，所以存在 d4d_4d4（0<d4<d30<d_4<d_30<d4<d3），使得当 0<x−x0<d40<x-x_0<d_40<x−x0<d4 时，成立
(1−g(a)g(x))⋅f(x)−f(a)g(x)−g(a)>12⋅G.\left(1-\frac{g(a)}{g(x)}\right)\cdot\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}>\frac{1}{2}\cdot G. (1−g(x)g(a))⋅g(x)−g(a)f(x)−f(a)>21⋅G.
即
lim⁡x→x0+[g(x)−g(a)g(x)⋅f(x)−f(a)g(x)−g(a)]=+∞.\underset{x \rightarrow x_0+}{\lim}\left[\frac{g(x)-g(a)}{g(x)}\cdot\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}\right]=+\infty. x→x0+lim[g(x)g(x)−g(a)⋅g(x)−g(a)f(x)−f(a)]=+∞.
于是
lim⁡x→x0+f(x)g(x)=lim⁡x→x0+[g(x)−g(a)g(x)⋅f(x)−f(a)g(x)−g(a)+f(a)g(x)]=lim⁡x→x0+[g(x)−g(a)g(x)⋅f(x)−f(a)g(x)−g(a)]+lim⁡x→x0+f(a)g(x)=(+∞)+0=+∞.\begin{aligned} \underset{x \rightarrow x_0+}{\lim}\frac{f(x)}{g(x)}&=\underset{x \rightarrow x_0+}{\lim}\left[\frac{g(x)-g(a)}{g(x)}\cdot\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}+\frac{f(a)}{g(x)}\right] \\ &=\underset{x \rightarrow x_0+}{\lim}\left[\frac{g(x)-g(a)}{g(x)}\cdot\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}\right]+\underset{x \rightarrow x_0+}{\lim}\frac{f(a)}{g(x)} \\ &=(+\infty)+0=+\infty. \end{aligned} x→x0+limg(x)f(x)=x→x0+lim[g(x)g(x)−g(a)⋅g(x)−g(a)f(x)−f(a)+g(x)f(a)]=x→x0+lim[g(x)g(x)−g(a)⋅g(x)−g(a)f(x)−f(a)]+x→x0+limg(x)f(a)=(+∞)+0=+∞.
当 A=−∞A=-\inftyA=−∞ 时，由于 lim⁡x→x0+f′(x)g′(x)=−∞\underset{x \rightarrow x_0+}{\lim}\frac{f'(x)}{g'(x)}=-\inftyx→x0+limg′(x)f′(x)=−∞，所以对于任意给定的 G>0G>0G>0，存在 d5d_5d5（0<d5<ρ0<d_5<\rho0<d5<ρ），使得当 0<x−x0<d50<x-x_0<d_50<x−x0<d5 时，成立
f′(x)g′(x)<−G.\frac{f'(x)}{g'(x)}<-G. g′(x)f′(x)<−G.
令 a=x0+d5a=x_0+d_5a=x0+d5，任取 x∈(x0,a]x \in (x_0,a]x∈(x0,a]，在 [x,a][x,a][x,a] 上使用 Cauchy 中值定理，存在 ξ∈(x,a)\xi \in (x,a)ξ∈(x,a)，使得
f(x)−f(a)g(x)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ)<−G.\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}<-G. g(x)−g(a)f(x)−f(a)=g′(ξ)f′(ξ)<−G.
由于 lim⁡x→x0+g(x)=∞\underset{x\rightarrow x_0+}{\lim}g(x)=\inftyx→x0+limg(x)=∞，所以存在 d6d_6d6（0<d6<d50<d_6<d_50<d6<d5），使得当 0<x−x0<d60<x-x_0<d_60<x−x0<d6 时，成立
(1−g(a)g(x))⋅f(x)−f(a)g(x)−g(a)<(−2)⋅G.\left(1-\frac{g(a)}{g(x)}\right)\cdot\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}<(-2)\cdot G. (1−g(x)g(a))⋅g(x)−g(a)f(x)−f(a)<(−2)⋅G.
即
lim⁡x→x0+[g(x)−g(a)g(x)⋅f(x)−f(a)g(x)−g(a)]=−∞.\underset{x \rightarrow x_0+}{\lim}\left[\frac{g(x)-g(a)}{g(x)}\cdot\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}\right]=-\infty. x→x0+lim[g(x)g(x)−g(a)⋅g(x)−g(a)f(x)−f(a)]=−∞.
于是
lim⁡x→x0+f(x)g(x)=lim⁡x→x0+[g(x)−g(a)g(x)⋅f(x)−f(a)g(x)−g(a)+f(a)g(x)]=lim⁡x→x0+[g(x)−g(a)g(x)⋅f(x)−f(a)g(x)−g(a)]+lim⁡x→x0+f(a)g(x)=(−∞)+0=−∞.\begin{aligned} \underset{x \rightarrow x_0+}{\lim}\frac{f(x)}{g(x)}&=\underset{x \rightarrow x_0+}{\lim}\left[\frac{g(x)-g(a)}{g(x)}\cdot\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}+\frac{f(a)}{g(x)}\right] \\ &=\underset{x \rightarrow x_0+}{\lim}\left[\frac{g(x)-g(a)}{g(x)}\cdot\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}\right]+\underset{x \rightarrow x_0+}{\lim}\frac{f(a)}{g(x)} \\ &=(-\infty)+0=-\infty. \end{aligned} x→x0+limg(x)f(x)=x→x0+lim[g(x)g(x)−g(a)⋅g(x)−g(a)f(x)−f(a)+g(x)f(a)]=x→x0+lim[g(x)g(x)−g(a)⋅g(x)−g(a)f(x)−f(a)]+x→x0+limg(x)f(a)=(−∞)+0=−∞.

证毕

类似于前面的讨论。有以下定理

定理 8（L’Hospital）：设函数 f(x)f(x)f(x)、g(x)g(x)g(x) 在 (x0−ρ,x0)(x_0-\rho,x_0)(x0−ρ,x0) 上可导（ρ>0\rho>0ρ>0），若满足：

lim⁡x→x0−g(x)=∞\underset{x \rightarrow x_0-}{\lim}g(x)=\inftyx→x0−limg(x)=∞;
g′(x)≠0g'(x)\ne0g′(x)=0；
lim⁡x→x0−f′(x)g′(x)=A(A为有限数，或±∞)\underset{x \rightarrow x_0-}{\lim}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A(A\text{为有限数，或}\pm \infty)x→x0−limg′(x)f′(x)=A(A为有限数，或±∞)，

定理 9（L’Hospital）：设函数 f(x)f(x)f(x)、g(x)g(x)g(x) 在点 x0x_0x0的某个邻域 O(x0,ρ)O(x_0,\rho)O(x0,ρ) 上可导（ρ>0\rho>0ρ>0），若满足：

lim⁡x→x0g(x)=∞\underset{x \rightarrow x_0}{\lim}g(x)=\inftyx→x0limg(x)=∞;
g′(x)≠0g'(x)\ne0g′(x)=0；
lim⁡x→x0f′(x)g′(x)=A(A为有限数，或±∞)\underset{x \rightarrow x_0}{\lim}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A(A\text{为有限数，或}\pm \infty)x→x0limg′(x)f′(x)=A(A为有限数，或±∞)，

定理 10（L’Hospital）：设函数 f(a)f(a)f(a)、g(x)g(x)g(x) 在 [a,+∞)[a,+\infty)[a,+∞) 上可导，若满足：

lim⁡x→+∞g(x)=∞\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim}g(x)=\inftyx→+∞limg(x)=∞;
g′(x)≠0g'(x)\ne0g′(x)=0；
lim⁡x→+∞f′(x)g′(x)=A(A为有限数，或±∞)\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A(A\text{为有限数，或}\pm \infty)x→+∞limg′(x)f′(x)=A(A为有限数，或±∞)，

定理 11（L’Hospital）：设函数 f(a)f(a)f(a)、g(x)g(x)g(x) 在 (−∞,a](-\infty,a](−∞,a] 上可导，若满足：

lim⁡x→−∞g(x)=∞\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim}g(x)=\inftyx→−∞limg(x)=∞;
g′(x)≠0g'(x)\ne0g′(x)=0；
lim⁡x→−∞f′(x)g′(x)=A(A为有限数，或±∞)\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A(A\text{为有限数，或}\pm \infty)x→−∞limg′(x)f′(x)=A(A为有限数，或±∞)，

定理 12（L’Hospital）：设函数 f(a)f(a)f(a)、g(x)g(x)g(x) 在 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty)(−∞,+∞) 上可导，若满足：

lim⁡x→∞g(x)=∞\underset{x \rightarrow \infty}{\lim}g(x)=\inftyx→∞limg(x)=∞;
g′(x)≠0g'(x)\ne0g′(x)=0；
lim⁡x→∞f′(x)g′(x)=A(A为有限数，或±∞)\underset{x \rightarrow \infty}{\lim}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A(A\text{为有限数，或}\pm \infty)x→∞limg′(x)f′(x)=A(A为有限数，或±∞)，

参考文献

[1] 陈纪修，于崇华，金路著. 数学分析上册. 第2版. 北京：高等教育出版社, 2004.06.
[2] 华东师范大学数学系编. 数学分析上册. 第4版. 北京：高等教育出版社, 2010.07.
[3] 谢惠民，恢自求，易法槐等. 数学分析习题课讲义上册. 北京：高等教育出版社. 2003.7.10.
[4] 常庚哲，史济怀. 数学分析教程上册. 第3版. 合肥：中国科学技术大学出版社. 2012.8.
[5] B. A. 卓里奇. 数学分析第一卷. 第7版. 北京：高等教育出版社.2019.2.

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数学分析：L‘Hospital 法则

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L’Hospital 法则

函数极限中的待定型

处理 00\frac{0}{0}00 型的 L’Hospital 法则

处理 ∗∞\frac{*}{\infty}∞∗ 型的L’Hospital 法则

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