高阶数学的力量系列001：用L'Hospital法则证明一些等价无穷小
在数学的发展史上，特别是在近现代的数学进程中，有名的数学大师，他们最推崇的就是如何找到最根本的创新，如何找到更有力的更高阶的数学理论和数学工具，以解决新的问题，或代替原来陈旧、繁杂的方法解决老的数学问题。
请注意，这里是最根本的创新，不是小打小闹。举一些真正配得上叫创新的例子：大如数学符号化、微积分、矩阵、解析几何、群环域这些理论或工具；小如一些重要的定理的发现，比如复数域上的欧拉公式、Lagrange中值定理、L’Hospital法则，等等。
从17世纪60年代，微积分发明以来，数学得到了极大的发展，分支愈来愈多。开始时，一些大数学家，对各个分支都懂，并作出了很多重大贡献，这些人我们叫做全能数学家，如Gausss、Euler、Hilbert、Legendre等；但是，数学的分支愈分愈细，全面懂得各个分支的数学家愈来愈少。对此，20世纪最伟大数学家 Hilbert 在19、20世纪交接的时候，提出了一个论点：“然而，我们不禁要问，随着数学知识的不断扩展，单个的研究者想要了解这些知识的所有部门，岂不是变得不可能了吗？为了回答这个问题，我想指出：数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧的、复杂的东西抛到一边。数学科学的这种特点是根深蒂固的。因此，对于个别的数学工作者来说，只要掌握了这些有利的工具和简单的方法，他就有可能在数学的各个分支中比其它科学更容易地找到前进的道路”。
绝大部分有名的数学家，比如龚升教授（华老弟子），就非常认同这个说法，龚教授鼓励年轻的数学工作者去仔细揣摩高级的数学如何替代低级的数学，鼓励我们去创新高级的数学。
上面两位的观点，其实从侧面回答了，为什么数学的分支越来越细，细到几乎没有数学家可以全盘掌握所有的数学科目？这个原因在一定程度上是由于比现在的数学体系更高级的数学理论或工具还没有出现，一旦出现了，现在的大部分数学分支也许就一下子整合到一起了。
所以，他们鼓励后来人去发现最根本的更高级的数学理论和数学工具。以解决新的问题、以及代替低级的数学。
本博文系列，从一些具体的小例子，来阐述高级数学的魅力。要么是它们解决了新的问题，要么是它们替代了老的、复杂的、低级的数学方法。以希望从中得到一些启发。
1. 传统的方法证明等价无穷小
下面的截图，给出了传统方法证明一些等价无穷小，在证明中，对于每一对等价无穷小，我们都要想一个对应的方法，甚至有的方法捎带着一些小技巧，需要一定的时间才能想到，如果想不到，这个证明可能就做不出来了。
可以看到，在上面的证明中，确实有一些小技巧。特别是第一个例子，还映射到了几何图形上。
下面介绍L’Hostpital法则的由来和利用。
2. L’Hostpital法则
3. L’Hospital法则的证明
证明具体参考陈纪修等的《数学分析》第二版教材。这里大体说一下关键的思路和用到的理论：
导数的定义-->Fermat引理-->Role定理-->Cauchy中值定理-->L'Hospital法则-->证明结束4. L’Hospital法则证明上面的等价无穷小
5. 总结
中值定理就是高级的数学，由它推出了高级的数学工具：L’Hospital法则。
一切都是多么的优美！
一切尽在高级数学中！
这就是高级数学的简单、有力、和一统天下！
参考文献:
1，龚升教授：《微积分五讲》
2，陈纪修等：《数学分析》第二版，高教出版社
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