数据的机器层次表示

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数据的机器层次表示
- 2.1 补码+原码+反码
- - 1. 原码表示法
  - 2. 补码表示法
  - 3. 反码表示法
  - 4. 三种表示法比较
- 2.2 原码补码加减法运算
- - 1. 补码加法
  - 2. 补码减法
  - 3. 符号扩展
- 2.3 溢出判断
- - 1. 采用一个符号位
  - 2. 采用进位位
  - 3. 采用变形补码（双符号位）

2.1 补码+原码+反码

1. 原码表示法

符号位单拎出来，正数为0，负数为1。

假设机器字长5位：

1）整数：

+1101，[x]原[x]_原[x]原=0,1101
-1101，[x]原[x]_原[x]原=1,1101

2）小数

+0.001，[x]原[x]_原[x]原 =0.0010
-0.001，[x]原[x]_原[x]原 =1.0010

3）真值0表示

[+0]原_原原 =0,0000

[-0]原_原原 1,0000

2. 补码表示法

1）方法一

小数：X=0.0110，[x]补[x]_补[x]补 =0.0110

X=-0.0110，[x]补[x]_补[x]补 =1.1010(数值部分：.0110 →\rightarrow→ .1001 →\rightarrow→ .1010)

整数：X=1101，[x]补[x]_补[x]补 =0,1101

X=-1101，[x]补[x]_补[x]补 =1,0011(数值部分：1101 →\rightarrow→ 0010 →\rightarrow→ 0011)

2）方法二（较简单）

当X为负数时：从低位至高位，尾数的第一个1及右部的0保持不变，左部的各位取反，符号位保持不变

X=-0.1110011000

[X]原_原原 = 1.1110011000

[X]补_补补 = 1.0001101000

3）真值0表示

[+0] 补_补补=[-0] 补_补补 =0,0000

表示范围变化：由于补码±0相同，所以补码多一个负数值为最小负数

3. 反码表示法

1）定义：正数，数值部分与真值形式相同；对于负数，将真值的数值部分按位取反。

小数：X=0.0110，[X]反_反反 =0.0110

X=1.0110，[X]反_反反 =1.1001

整数：X=1101，[X]反_反反 =0,1101

X=-1101，[X]反_反反 =1,0010

2）真值0表示

[+0] 反_反反 =0,0000

[-0] 反_反反 =1,1111

4. 三种表示法比较

1）对于整数，都等于真值本身。

2）最高位都表示符号位。

3）对于真值0，补码只有唯一一种表示形式

4）补码多表示的负数：①整数：−2n-2^n−2n ②小数：−1-1−1

2.2 原码补码加减法运算

1. 补码加法

计算 X+YX+YX+Y :

X+Y←[X+Y]补←[X]补+[Y]补X+Y \leftarrow [X+Y]_补\leftarrow [X]_{补}+[Y]_{补}X+Y←[X+Y]补←[X]补+[Y]补

注意：如果Y<0Y<0Y<0，那么这里的 [Y]补[Y]_{补}[Y]补就是负数的补码，但是跟变补没关系(对X同理)

A=0.1011, B=-0.1110，求A+B

[A]补[A]_{补}[A]补 =0.1011，[B]原[B]_{原}[B]原= 1.1110，[B]补[B]_{补}[B]补= 1.0010

[A]补[A]_{补}[A]补+[B]补[B]_{补}[B]补= [A+B]补[A+B]_{补}[A+B]补= 1.1101

[A+B]原[A+B]_{原}[A+B]原= 1.0011

A+BA+BA+B= -0.0010

2. 补码减法

计算 X−YX-YX−Y :

X+Y←[X−Y]补←[X]补+[−Y]补X+Y \leftarrow [X-Y]_补\leftarrow [X]_{补}+[-Y]_{补}X+Y←[X−Y]补←[X]补+[−Y]补

根据 [Y]补[Y]_{补}[Y]补求 [−Y]补[-Y]_{补}[−Y]补 :

①求 [Y]补[Y]_{补}[Y]补

② [−Y]补[-Y]_{补}[−Y]补= [[Y]补]变补[[Y]_{补}]_{变补}[[Y]补]变补：将 [Y]补[Y]_{补}[Y]补连同符号位一起求反，末尾加1

例如：

[Y]原[Y]_{原}[Y]原 = 1.0110

[Y]补[Y]_{补}[Y]补 = 1.1010

[−Y]补[-Y]_{补}[−Y]补 =1.1010 →\rightarrow→ 0.0101 →\rightarrow→ 0.0110

例题：

A=0.1011, B=-0.0010，求A-B

[A]补[A]_{补}[A]补 =0.1011，[B]原[B]_{原}[B]原= 1.0010，[B]补[B]_{补}[B]补= 1.1110，[−B]补[-B]_{补}[−B]补= 0.0010

[A]补[A]_{补}[A]补+[−B]补[-B]_{补}[−B]补= [A−B]补[A-B]_{补}[A−B]补= 0.1101

[A−B]原[A-B]_{原}[A−B]原= 0.1101

A−BA-BA−B= 0.1101

3. 符号扩展

场景：某程序需要将8位数与另外一个16位数相加，需要将8位数转化成16位数

例如：00001101/10001101扩展成16位（8位中，包括1位符号位）

1）原码符号扩展

正数：0000000000001101
负数：0000000010001101

2）补码符号扩展

正数：0000000000001101
负数：1111111111110011

2.3 溢出判断

假设被操作数为： [X]补=Xs,X1X2X3...Xn[X]_补=X_s,X_1X_2X_3...X_n[X]补=Xs,X1X2X3...Xn

操作数为： [Y]补=Ys,Y1Y2Y3...Yn[Y]_补=Y_s,Y_1Y_2Y_3...Y_n[Y]补=Ys,Y1Y2Y3...Yn

其和（差）：[S]补=Ss,S2S1S3...Sn[S]_补=S_s,S_2S_1S_3...S_n[S]补=Ss,S2S1S3...Sn

1. 采用一个符号位

1）正溢： Xs=Ys=0,Ss=1X_s=Y_s=0,S_s=1Xs=Ys=0,Ss=1（两个正数加起来变成了负数）

设 X=1011B=11D,Y=111B=7DX=1011B=11D, Y=111B=7DX=1011B=11D,Y=111B=7D

[X]补=0,1011,[Y]补=0,0111[X]_补=\textcolor{red}0,1011,[Y]_补=\textcolor{red}0,0111[X]补=0,1011,[Y]补=0,0111

[X+Y]补=1,0010[X+Y]_补=\textcolor{red}1,0010[X+Y]补=1,0010

X+Y=−14DX+Y=-14DX+Y=−14D

2）负溢： Xs=Ys=1,Ss=0X_s=Y_s=1,S_s=0Xs=Ys=1,Ss=0 （两个负数加起来变成了正数）

设 X=−1011B=−11D,Y=−111B=−7DX=-1011B=-11D, Y=-111B=-7DX=−1011B=−11D,Y=−111B=−7D

[X]补=1,0101,[Y]补=1,1001[X]_补=\textcolor{red}1,0101,[Y]_补=\textcolor{red}1,1001[X]补=1,0101,[Y]补=1,1001

[X+Y]补=0,1110[X+Y]_补=\textcolor{red}0,1110[X+Y]补=0,1110

X+Y=14DX+Y=14DX+Y=14D

2. 采用进位位

Cs,C1C2..CnC_s,C_1C_2..C_nCs,C1C2..Cn

CsC_sCs ：符号位产生的进位

C1C_1C1 ：最高数值位产生的进位

产生溢出的条件：Cs⨁C1C_s\bigoplus C_1Cs⨁C1 (最高数值位产生的进位和符号位产生的进位不同)

1）正溢：C1=1,Cs=0C_1=1,C_s=0C1=1,Cs=0

2）负溢：C1=0,Cs=1C_1=0,C_s=1C1=0,Cs=1

3. 采用变形补码（双符号位）

1）思想：将符号位扩充为两位，Ss1(真符：代表该数真正的符号),Ss2S_{s1}(真符：代表该数真正的符号),S_{s2}Ss1(真符：代表该数真正的符号),Ss2

2）产生溢出的条件：Ss1⨁Ss2S_{s1}\bigoplus S_{s2}Ss1⨁Ss2

① Ss1Ss2=00S_{s1}S_{s2}=00Ss1Ss2=00 ,结果为正数，无溢出

② Ss1Ss2=01S_{s1}S_{s2}=01Ss1Ss2=01 ,结果正溢

③ Ss1Ss2=10S_{s1}S_{s2}=10Ss1Ss2=10 ,结果负溢

④ Ss1Ss2=11S_{s1}S_{s2}=11Ss1Ss2=11 ,结果为负数，无溢出

00，1011+00，0111=01，0010（正溢）

11，1011+11，0111=10，1110（负溢）

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