题目描述

给你一个字符串 s ，找出其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。子序列定义为：不改变剩余字符顺序的情况下，删除某些字符或者不删除任何字符形成的一个序列。

来源：力扣（LeetCode）链接：https://leetcode-cn.com/problems/longest-palindromic-subsequence
示例1

输入：s = "bbbab"
输出：4
解释：一个可能的最长回文子序列为 "bbbb" 。

示例2

输入：s = "cbbd"
输出：2
解释：一个可能的最长回文子序列为 "bb" 。

提示

1<=s.length<=10001 <= s.length <= 10001<=s.length<=1000
s 仅由小写英文字母组成

解题思路：动态规划

本题使用动态规划求解。对于一个子序列，如果它是回文子序列，并且长度大于2，那么将它首尾的两个字符去掉之后，它仍然是一个回文子序列。因此可以使用动态规划的方法计算给定字符串的最长回文子序列。

使用dp[i][j]dp[i][j]dp[i][j]表示字符串s的下标范围[i,j][i,j][i,j]内的最长回文子序列的长度。假设字符串s的长度为n，则只有当0<=i<=j<n0<=i<=j<n0<=i<=j<n时，才会有dp[i][j]>0dp[i][j]>0dp[i][j]>0，否则dp[i][j]=0dp[i][j] = 0dp[i][j]=0。

由于任何长度为1的子序列都是回文子序列，因此在动态规划遍历中，边界情况是对于任意0<=i<n0<=i<n0<=i<n，都有dp[i][i]=1dp[i][i] = 1dp[i][i]=1。

当i<ji<ji<j时，计算dp[i][j]dp[i][j]dp[i][j]需要分别考虑字符串两端s[i]s[i]s[i]和s[j]s[j]s[j]相等和不相等的情况：

如果s[i]=s[j]s[i]=s[j]s[i]=s[j]，则首先得到s的下标范围[i+1,j−1][i+1, j-1][i+1,j−1]内的最长回文子序列，然后在该子序列的首尾分别添加s[i]s[i]s[i]和s[j]s[j]s[j]，即可得到s的下表范围[i,j][i, j][i,j]内的最长回文子序列，因此有：dp[i][j]=dp[i+1][j−1]+2dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2dp[i][j]=dp[i+1][j−1]+2；
如果s[i]≠s[j]s[i] \not = s[j]s[i]=s[j]，则表明s[i]s[i]s[i]和s[j]s[j]s[j]不可能同时作为同一个回文子序列的首尾，因此当前的dp[i][j]dp[i][j]dp[i][j]取分别添加两端所能表示的最长回文子序列的最大值，即dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i][j−1])dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-1])dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i][j−1])。

由于状态转移方程都是从长度较短的子序列向长度较长的子序列转移，因此需要注意动态规划的循环顺序。从状态转移方程来看，在计算dp[i][j]dp[i][j]dp[i][j]的时候，需要用到dp[i+1][j−1]dp[i+1][j-1]dp[i+1][j−1]和dp[i+1][j]dp[i+1][j]dp[i+1][j]，因此对于i的遍历应该从后向前，对于j的遍历应该从前往后。最终返回dp[0][s.length−1]dp[0][s.length-1]dp[0][s.length−1]，即为答案。

代码如下

class Solution:def longestPalindromeSubseq(self, s: str) -> int:n = len(s)dp = [[0] * n for _ in range(n)]for i in range(n-1,-1,-1):dp[i][i] = 1for j in range(i+1, n):if s[i]==s[j]:dp[i][j] = dp[i+1][j-1]+2else:dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-1])return dp[0][n-1]

复杂度分析

时间复杂度：O(n2)O(n^2)O(n2)，其中 n 是字符串 s 的长度。动态规划需要计算的状态数是 O(n2)O(n^2)O(n2)。
空间复杂度：O(n2)O(n^2)O(n2)，其中 n 是字符串 s 的长度。需要创建二维数组 dp\textit{dp}dp，所需空间是 O(n2)O(n^2)O(n2)。

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