平行直问题的转化关系示意图

\[线//线\xlongequal[\Leftarrow 性质定理]{判定定理\Rightarrow}线//面\xlongequal[\Leftarrow 性质定理]{判定定理\Rightarrow}面//面\]

\[线//线\xlongequal[\Leftarrow 性质定理]{判定定理\Rightarrow}面//面\]

前 言

判定难点

• 主从关系的转换，比如证明\(A_1F// DE\)不容易时，我们转而证明\(DE// A_1F\)可能很容易。山重水复疑无路，柳暗花明又一村。

• 区分清楚判定定理和性质定理。

• 平行关系的相互转化，

常识储备

识记如图所示的是正方体\(ABCD-A'B'C'D'\)，有如下的常用结论：

(1)体对角线\(B'D\perp\)平面\(ACD'\)(如图1)

证明：令体对角线\(B'D\)和平面\(ACD'\)的交点是\(N\)，由正四面体\(B'-ACD'\)可知，

\(N\)是三角形底面的中心，连接\(OD'\)，则易知\(AC\perp BD\)，\(AC\perp BB'\)，故\(AC\perp B'D\)，

同理\(AD'\perp B'D\)，故体对角线\(B'D\perp\)平面\(ACD'\)。

(2)\(DN=\cfrac{1}{3}B'D\)(如图1，利用等体积法)

(3)平面\(ACD'//A'BC'\)(如图2)

(4)平面\(ACD'\)与平面\(A'BC'\)的间距是\(\cfrac{1}{3}B'D\)，即体对角线的\(\cfrac{1}{3}\)(如图2)

(5)三棱锥\(B'-ACD'\)是正四面体。三棱锥\(D-ACD'\)是正三棱锥。

(6)如果需要将正四面体或者墙角型的正三棱锥恢复还原为正方体，我们可以先画出正方体，然后在里面找出需要的正四面体或者墙角型正三棱锥。

(7)圆内接正方形的中心就是圆心，正方形的对角线的长度就是圆的直径；球内接正方体的中心就是球心，正方体的体对角线的长度就是球的直径。

(8)正方形的棱长设为\(2a\)，则正方形的内切圆半径为\(a\)，正方形的外接圆半径为\(\sqrt{2}a\)，三者的关系之比为\(2:1:\sqrt{2}\)；

正方体的棱长设为\(2a\)，则正方体的内切球半径为\(a\)，正方体的外接球半径为\(\sqrt{3}a\)，三者的关系之比为\(2:1:\sqrt{3}\)；

(9)正三角形的棱长设为\(2a\)，则正三角形的内切圆半径为\(\cfrac{\sqrt{3}}{3}a\)，正三角形的外接圆半径为\(\cfrac{2\sqrt{3}}{3}a\)，三者的关系之比为\(2\sqrt{3}:1:2\)；

正四面体的棱长设为\(2a\)，则正四面体的内切球半径为\(\cfrac{\sqrt{6 }}{6}a\)，正四面体的外接球半径为\(\cfrac{\sqrt{6 }}{2}a\)，三者的关系之比为\(2\sqrt{6}:1:3\)；

典例剖析

• 线线平行

例10【2019届高三理科数学三轮模拟试题】在正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，点\(O\)是四边形\(ABCD\)的中心，关于直线\(A_1O\)，下列说法正确的是【】

分析：由于题目中给定点\(O\)是下底面的中心，故我们想到也做出上底面的中心\(E\)，如图所示，

当连结\(CE\)时，我们就很容易看出\(A_1O//CE\)，以下做以说明；

由于\(OC//A_1E\)，且\(OC=A_1E\)，则可知\(A_1O//CE\)，

又由于\(A_1O\not \subset 面B_1CD_1\)，\(CE \subset 面B_1CD_1\)，故\(A_1O//平面B_1CD_1\) ，故选\(C\)，

此时，我们也能轻松的排除\(A\)，\(B\)，\(D\)三个选项是错误的。

• 线面平行

例1【2016江苏高考卷】如图，在直三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)中，\(D\)、\(E\)分别是\(AB\)、\(BC\)的中点，点\(F\)在侧棱\(BB_1\)上，且\(B_1D\perp A_1F\)，\(A_1C_1\perp A_1B_1\)。

求证：(1)直线\(DE//\)平面\(A_1C_1F\).

分析：现在需要\(\Leftarrow\)直线\(DE//\)平面\(A_1C_1F\)

\(\Leftarrow\)直线\(DE//\)平面\(A_1C_1F\)内的某直线\(?\)

某条直线可能是三角形的边界线，三角形中线，高线，中位线，或者需要我们做出的某条辅助直线。

证明：因为\(D\)、\(E\)分别是\(AB\)、\(BC\)的中点，则有\(DE//AC//A_1C_1\)，

又因为直线\(A_1C_1\subsetneqq\)平面\(A_1C_1F\)，

\(DE\not\subseteq\)平面\(A_1C_1F\)，则直线\(DE//\)平面\(A_1C_1F\)。

求证(2)平面\(B_1DE\perp\)平面\(A_1C_1F\).

分析：\(\Leftarrow\)平面\(B_1DE\perp\)平面\(A_1C_1F\)

\(\Leftarrow\)一个面内的某条直线\(\perp\)另一个面内的两条相交直线。

此时往往需要结合图形及已知条件来确定，比如将一个面内的某条直线暂时确定为直线\(A_1F\)，

那么此时就需要在另一个平面\(B_1DE\)内找两条相交直线，且都要能证明和直线\(A_1F\)，

如果能找到，则这样的思路就基本固定下来了，

思路一大致为：\(A_1F\perp\begin{cases}B_1D\\ DE\end{cases}\)，

从而转证\(DE\perp A_1F\)，从而转证\(A_1C_1\perp A_1F\)，

从而转证\(A_1C_1\perp\)包含\(A_1F\)的平面\(ABB_1A_1\)，

从而转证\(A_1C_1\perp\begin{cases}A_1B_1\\ A_1A\end{cases}\)；

思路二大致为：\(B_1D\perp\begin{cases}A_1F\\ A_1C_1\end{cases}\)，

从而转证\(A_1C_1\perp B_1D\)，

从而转证\(A_1C_1\perp\)包含\(B_1D_1\)的平面\(ABB_1A_1\)，

从而转证\(A_1C_1\perp\begin{cases}A_1B_1\\ A_1A\end{cases}\)；

证明：你能自主写出证明过程吗？

【反思提升】上述解答中的思路一中，在分析需要证明\(A_1F\perp DE\)时，包含了视角上的转换，如证明\(A_1F\perp DE\)不容易时，我们转而证明\(DE\perp A_1F\)，即转证\(A_1C_1\perp A_1F\)，从而接下来就可以考虑证明线面垂直，从而转证\(A_1C_1\perp\)包含\(A_1F\)的平面\(ABB_1A_1\)，

例8已知底面是平行四边形的四棱锥\(P-ABCD\)，点\(E\)在\(PD\)上，且\(PE：ED=2：1\)，在棱\(PC\)上是否存在一点\(F\)，使得\(BF//\)面\(AEC\)，证明并说出点\(F\)的位置。相关课件

分析：在棱\(PC\)上存在一点\(F\)，\(F\)为\(PC\)的中点，使得\(BF//\)面\(AEC\)，理由如下：

取\(PE\)的中点\(H\)，\(PC\)的中点\(F\)，联结\(BF\)、\(HF\)、\(BH\)，联结\(AC\)和\(BD\)，交点为\(O\)，

则由\(HF\)是\(\Delta PEC\)的底边\(EC\)的中位线，故\(HF//EC\)；

由\(EO\)是\(\Delta DBH\)的底边\(BH\)的中位线，故\(BH//EO\)；

(说明：这样的话，平面\(BHF\)内的两条相交直线\(HF\)和\(BH\)分别平行与另一个平面\(AEC\)内的两条相交直线\(EO\)和\(EC\)，则这两个平面就平行）

又由于\(HF\subsetneqq\)平面\(BHF\)，\(BH\subsetneqq\)平面\(BHF\)，\(BH\cap HF=H\)，

\(EO\subsetneqq\)平面\(AEC\)，\(EC\subsetneqq\)平面\(AEC\)，\(EO\cap EC=E\)，

则平面\(BHF//\)平面\(AEC\)，

又\(BF\subsetneqq\)平面\(BHF\)，

则有\(BF//\)平面\(AEC\)，猜想得证。

• 面面平行

例19【2018宝鸡市高三数学第一次质量检测第9题】已知四棱锥\(S-ABCD\)的底面为平行四边形，且\(SD\perp 面ABCD\)，\(AB=2AD=2SD\)，\(\angle DCB=60^{\circ}\)，\(M、N\)分别是\(SB、SC\)的中点，过\(MN\)作平面\(MNPQ\)分别与线段\(CD、AB\)相交于点\(P、Q\)。

(1).在图中作出平面\(MNPQ\)，使面\(MNPQ//面SAD\)(不要求证明)；

分析：如图所示，点\(P、Q\)分别是线段\(CD、AB\)的中点，联结\(NP、PQ、QM\)所得的平面即为所求做的平面。

反思总结：1、一般的考法是题目作出这样的平面，然后要求我们证明面面平行，现在是要求我们利用面面平行的判定定理作出这样的平面，应该是要求提高了。

2、注意图中的线的虚实。

(2).【文】若\(|\overrightarrow{AB}|=4\)，在(1)的条件下求多面体\(MNCBPQ\)的体积。

【理】若\(\overrightarrow{AQ}=\lambda \overrightarrow{AB}\)，是否存在实数\(\lambda\)，使二面角\(M-PQ-B\)的平面角大小为\(60^{\circ}\)？若存在，求出\(\lambda\)的值；若不存在，请说明理由。

【文科】法1：

如图所示，连接\(PB、NB\)，有题目可知在(1)的情形下，平面\(MNPQ\)与平面\(ABCD\)垂直，由题目可知，\(AB=4\)，\(BC=PC=2\)，\(SD=2\)，\(NP=1\)，

则\(SD\perp面ABCD\)，\(NP//SD\)，则\(NP\perp 面ABCD\)，

\(\Delta PCB\)是边长为2的等边三角形，则\(V_{N-PBC}=\cfrac{1}{3}\cdot S_{\Delta PBC}\cdot |NP|=\cfrac{1}{3}\cdot \cfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot 4\cdot 1=\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)

由\(MN//BC\)，\(MN \perp面SAD\)，面\(MNPQ\)是直角梯形，\(MN=NP=1\)，\(PQ=2\)

连接\(BD\)交\(PQ\)于点\(H\)，在\(\Delta ABD\)中，由余弦定理可知，\(BD=2\sqrt{3}\)，\(AB^2=AD^2+BD^2\)，则\(BD\perp AD\)

即\(BH\perp PQ\)，且\(BH\perp NP\)，故\(BH\perp 面MNPQ\)，

\(V_{B-MNPQ}=\cfrac{1}{3}\cdot S_{MNPQ}\cdot |BH|=\cfrac{1}{3}\cdot \cfrac{(1+2)\cdot 1}{2}\cdot \sqrt{3}=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)

故\(V_{MNCBPQ}=V_{B-MNPQ}+V_{N-PBC}=\cfrac{\sqrt{3}}{2}+\cfrac{\sqrt{3}}{3}=\cfrac{5\sqrt{3}}{6}\)。

法2：

待补充。

【理科】待补充。