组合分析

概率论中，许多问题只要通过计算某个事件发生的结果的数目就能得以解决，关于计数的数学理论通常称为组合分析，通俗来讲我认为这个东西就是“数数”，如果数都数不好那还怎么求概率。（高中学的时候叫排列组合）

1 计数基本法则

首先来看计数基本法则，计数基本法则是许多其他“数数”的基础，日常生活中也常常要用到，只不过我们没有用专业一点儿的术语来描述它，假设有两个实验，其中试验1有mmm种可能的结果，对应于试验1的每一个结果，试验2有nnn种可能的结果，则这两个实验一共有mnmnmn种可能的结果。这种只有两个试验的情况简直再好理解不过，进一步推广到rrr个试验，试验1有n1n_1n1种可能的结果，对应于试验1的每一种结果，试验2有n2n_2n2种可能的结果，以此类推，这rrr个试验一共有n1n2⋯nrn_1n_2\cdots n_rn1n2⋯nr种可能的结果。
计数基本法则的证明十分简单，尽管把所有的情况都列举出来，虽然麻烦了一点儿，不过很直观。

2 排列

根据实际问题入手，给出三个字母a,b,ca,b,ca,b,c现在对这三个字母进行排列，一共有多少种不同的情况呢？小学数学题嘛，一共6种情况分别是abc,acb,bac,bca,cab,cbaabc,acb,bac,bca,cab,cbaabc,acb,bac,bca,cab,cba，每一种都称为一个排列。这排列数量是这么来的，第一个位置有三种可能，第一个位置确定完后第二个位置只有两种可能，最后一个位置只有一种可能，因此就是3∗2∗1=63*2*1=63∗2∗1=6。推广到若一共有nnn个元素，依据上述推理，一共有n∗(n−1)∗(n−2)∗⋯∗2∗1=n!n*(n-1)*(n-2)*\cdots *2*1=n!n∗(n−1)∗(n−2)∗⋯∗2∗1=n!不同排列方式。（高中学的表示方法就是AnnA_n^nAnn）
我们现在将这个问题稍作修改，现在有6字母a,a,a,b,b,ca,a,a,b,b,ca,a,a,b,b,c对着6个字母进行排序，一共有多少种不同的情况呢？现在将重复的字母先区分开，给个下标a1,a2,a3,b1,b2,ca_1,a_2,a_3,b_1,b_2,ca1,a2,a3,b1,b2,c现在就变成了前面的情况，一共有6!=7206!=7206!=720种情况。如果把下标去掉，则会发现有许多重复的排列结果，对于aaa来说a1,a2,a3a_1,a_2,a_3a1,a2,a3在排列中的相对位置有3!=63!=63!=6种情况，去掉下标后这些情况完全一样，bbb同理2!=22!=22!=2种情况，根据基本计数法则，aaa与bbb产生的排列结果有6∗2=126*2=126∗2=12种结果，鉴于这些结果完全没区别，因此实际的不同排列组合应该为720/12=60720/12=60720/12=60种。老套路，推广到一般情况对于有nnn个元素，其中有n1n_1n1个元素彼此相同，⋯\cdots⋯，nrn_rnr个元素彼此相同，这样的不同排列方式数量为n!n1!n2!⋯nr!\cfrac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_r!}n1!n2!⋯nr!n!。

3 组合

再给出一个实际问题，从26个英文字母里面选择3个不同的英文字母有多少种不同的组，按照正常的逻辑推理，首先选第一个字母有26种可能，然后选第二个字母只剩下25种可能，再选第三个字母剩下24种可能。于是就是26∗25∗24=1560026*25*24=1560026∗25∗24=15600，如果考虑顺序则到此为止。不考虑顺序就是组合的问题，这15600种结果中，我们拿出a,b,ca,b,ca,b,c三个字母，它被拿出的顺序可能是前一节说过的6种，现在这6种情况都是同一种组合，对任意三个字母都是一样的，因此组合的数量为15600/6=260015600/6=260015600/6=2600种。推广到一般情况，从nnn个元素中找rrr个元素，一共有n∗(n−1)∗⋯∗(n−r+1)n*(n-1)*\cdots *(n-r+1)n∗(n−1)∗⋯∗(n−r+1)种取法，这些取法中的rrr个元素根据不同的排列方式被取了r!r!r!次，因此不同组合的数量应为n∗(n−1)∗⋯∗(n−r+1)r!=n!(n−r)!r!\cfrac{n*(n-1)*\cdots *(n-r+1)}{r!}=\cfrac{n!}{(n-r)!r!}r!n∗(n−1)∗⋯∗(n−r+1)=(n−r)!r!n!种。
现在来专业地表达组合，对于r≤nr\le nr≤n，定义(nr)=n!(n−r)!r!\begin{pmatrix} n\\r\end{pmatrix}=\cfrac{n!}{(n-r)!r!}(nr)=(n−r)!r!n!，这样就表示从nnn个元素中一次取rrr个的可能组合数。（高中学的是CnrC_n^rCnr）现在考虑对这个公式变一变，试想从nnn个元素中选取rrr个元素，其中有一个元素γ\gammaγ，所有可能的组合或包含γ\gammaγ或不包含γ\gammaγ，这就有了这个非常有用的恒等式：
(nr)=(n−1r−1)+(n−1r)\begin{pmatrix} n\\r\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n-1\\r-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n-1\\r\end{pmatrix}(nr)=(n−1r−1)+(n−1r)
组合(nr)=n!(n−r)!r!\begin{pmatrix} n\\r\end{pmatrix}=\cfrac{n!}{(n-r)!r!}(nr)=(n−r)!r!n!经常成为二项式系数。二项式定理如下：
(x+y)n=∑k=0n(nk)xkyn−k(x+y)^n=\sum_{k=0}^n\begin{pmatrix} n\\k\end{pmatrix}x^ky^{n-k}(x+y)n=k=0∑n(nk)xkyn−k
二项式定理可以用数学归纳法和组合法证明，这里就不证了。

4 二项式及多项式系数

组合(nr)=n!(n−r)!r!\begin{pmatrix} n\\r\end{pmatrix}=\cfrac{n!}{(n-r)!r!}(nr)=(n−r)!r!n!经常成为二项式系数。二项式定理如下：
(x+y)n=∑k=0n(nk)xkyn−k(x+y)^n=\sum_{k=0}^n\begin{pmatrix} n\\k\end{pmatrix}x^ky^{n-k}(x+y)n=k=0∑n(nk)xkyn−k
二项式定理可以用数学归纳法和组合法证明，这里就不证了。现在考虑另一个问题，把nnn个不同的元素分成rrr组，每组包含的元素数量分别为n1n2⋯nrn_1n_2\cdots n_rn1n2⋯nr其中∑i=1rni=n\sum_{i=1}^rn_i=n∑i=1rni=n，一共有多少分法。根据组合我们可以非常简单地想到，先从nnn中选n1n_1n1个，再从剩下的n−n1n-n_1n−n1中选n2n_2n2个，以此类推，最后根据计数基本法则，组数就是这些的乘积：
(nn1)(n−n1n2)⋯(n−n1−n2−⋯−nr−1nr)=n!(n−n1)!n1!∗(n−n1)!(n−n1−n2)!n2!∗⋯∗(n−n1−n2−⋯−nr−1)!0!nr!=n!n1!n2!⋯nr!\begin{aligned} &\begin{pmatrix} n\\n_1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} n-n_1\\n_2\end{pmatrix}\cdots \begin{pmatrix} n-n_1-n_2-\cdots -n_{r-1}\\n_r\end{pmatrix} \\ &=\cfrac{n!}{(n-n_1)!n_1!}*\cfrac{(n-n_1)!}{(n-n_1-n_2)!n_2!}*\cdots *\cfrac{(n-n_1-n_2-\cdots -n_{r-1})!}{0!n_r!}\\ &=\cfrac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_r!} \end{aligned} (nn1)(n−n1n2)⋯(n−n1−n2−⋯−nr−1nr)=(n−n1)!n1!n!∗(n−n1−n2)!n2!(n−n1)!∗⋯∗0!nr!(n−n1−n2−⋯−nr−1)!=n1!n2!⋯nr!n!
这和前面那个排列问题的结果是一样的。
根据上面问题，如果∑i=1rni=n\sum_{i=1}^rn_i=n∑i=1rni=n，则定义(nn1,n2,⋯,nr)=n!n1!n2!⋯nr!\begin{pmatrix} n\\n_1,n_2,\cdots, n_r\end{pmatrix}=\cfrac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_r!}(nn1,n2,⋯,nr)=n1!n2!⋯nr!n!，表示吧nnn个不同的元素分成大小分别为n1,n2,⋯,nrn_1,n_2,\cdots, n_rn1,n2,⋯,nr的rrr个不同组的组数。这个组合也称为多项式系数，多项式定理如下：
(x1+x2+⋯+xr)n=∑(n1,⋯,nr):n1+⋯+nr=n(nn1,n2,⋯,nr)x1n1x2n2⋯xrnr(x_1+x_2+\cdots +x_r)^n=\sum_{(n_1,\cdots,n_r):n_1+\cdots+n_r=n}\begin{pmatrix} n\\n_1,n_2,\cdots, n_r\end{pmatrix}x_1^{n_1}x_2^{n_2}\cdots x_r^{n_r}(x1+x2+⋯+xr)n=(n1,⋯,nr):n1+⋯+nr=n∑(nn1,n2,⋯,nr)x1n1x2n2⋯xrnr
所有nin_ini都是非负数。

5 思考问题

理解数学中的定义并不难，遇到实际问题如果脑子不灵活理解了定义也不会用。下面两个问题很简单，稍微思考一下就可以了：

将10个小孩平均分成A、B两个组去参加两场不同的比赛，一共有多少种分法？（10!5!×5!\cfrac{10!}{5!×5!}5!×5!10!）
将10个小孩平均分成两组进行篮球比赛，一共有多少种分法？（10!/(5!×5!)2!\cfrac{10!/(5!×5!)}{2!}2!10!/(5!×5!)）

参考资料：《概率论基础教程》Sheldon M.Ross

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