数学分析-1.2数列和收敛数列-例题1、2、3

Eg 1：证明：收敛数列极限唯一
对于数列{an}\{a_n\}{an}，若存在两个极限：
lim⁡n→∞an=a，lim⁡n→∞an=b\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}a_n=a，\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}a_n=b n→∞liman=a，n→∞liman=b证明a=ba=ba=b即可
∀ε>0,∃N1,当n>N1时：∣an−a∣<ε2\forall \varepsilon >0,\exists N_1, \text{当}n>N_1\text{时：}\left| a_n-a \right|<\frac{\varepsilon}{2}∀ε>0,∃N1,当n>N1时：∣an−a∣<2ε
∀ε>0,∃N2,当n>N2时：∣an−b∣<ε2\forall \varepsilon >0,\exists N_2, \text{当}n>N_2\text{时：}\left| a_n-b \right|<\frac{\varepsilon}{2}∀ε>0,∃N2,当n>N2时：∣an−b∣<2ε
取N=max⁡{N1,N2}N=\max\{N_1,N_2\}N=max{N1,N2}，则当n>Nn>Nn>N时：
∣a−b∣=∣a−an+an−b∣⩽∣a−an∣+∣an−b∣<ε\left| a-b \right|=\left| a-a_n+a_n-b \right|\leqslant \left| a-a_n \right|+\left| a_n-b \right|<\varepsilon ∣a−b∣=∣a−an+an−b∣⩽∣a−an∣+∣an−b∣<ε即：∀ε>0,∣a−b∣<ε\forall \varepsilon >0, \left| a-b \right|< \varepsilon ∀ε>0,∣a−b∣<ε
所以：a=ba=ba=b，证毕

Eg 2：收敛数列必有界
若lim⁡n→∞an=a\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}a_n=an→∞liman=a，取ε=1\varepsilon=1ε=1，则∃N>0,当n>N时：\exists N>0, \text{当}n>N\text{时：}∃N>0,当n>N时：
∣an∣−∣a∣⩽∣an−a∣<ε=1\left| a_n \right|-\left| a \right|\leqslant \left| a_n-a \right|<\varepsilon =1∣an∣−∣a∣⩽∣an−a∣<ε=1即：∣an∣⩽∣a∣+1\left| a_n \right|\leqslant \left| a \right|+1∣an∣⩽∣a∣+1.
取M=∣a1∣+∣a2∣+⋯+∣aN∣+∣a∣+1M=\left| a_1 \right|+\left| a_2 \right|+\cdots +\left| a_N \right|+\left| a \right|+1M=∣a1∣+∣a2∣+⋯+∣aN∣+∣a∣+1，则必有：
∣an∣<M\left| a_n \right|<M ∣an∣<M所以数列{an}\{a_n\}{an}有界。证毕。

Eg 3：设lim⁡n→∞an=a\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}a_n=an→∞liman=a，那么{an}\{a_n\}{an}的任意子数列必以aaa为极限
设{an}\{a_n\}{an}的一个子数列为bn=aknb_n=a_{k_n}bn=akn，其中必满足kn⩾nk_n\geqslant nkn⩾n.
已知：∀ε>0,∃N,当n>N时，∣an−a∣<ε\forall \varepsilon >0,\exists N, \text{当}n>N\text{时，}\left| a_n-a \right|<\varepsilon ∀ε>0,∃N,当n>N时，∣an−a∣<ε ∵kn⩾n>N\because k_n\geqslant n>N∵kn⩾n>N
∴∣akn−a∣<ε\therefore \left| a_{k_n}-a \right|<\varepsilon∴∣akn−a∣<ε

数学分析-1.2数列和收敛数列-例题1、2、3相关推荐

UA MATH523A 实分析3 积分理论例题证明函数列L1收敛的一个题目
UA MATH523A 实分析3 积分理论例题证明函数列L1收敛的一个题目例假设fnf_nfn在[0,1][0,1][0,1]上绝对连续,fn(0)=0,∀n≥1f_n(0)=0,\foral ...
n平方的求和公式_高中数学：数列求和及数列的综合应用，掌握常见模型
数列求和及数列的综合应用,掌握常见模型 [考试要求] 1.熟练掌握等差.等比数列的前n项和公式: 2.掌握非等差数列.非等比数列求和的几种常见方法: 3.了解数列是一种特殊的函数:4.能在具体问题情境 ...
平方数列、立方数列求和公式与推导
平方数列.立方数列之求和平方和 12+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)61^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6 12+22+⋯+n2=6n(n+1)( ...
n平方的求和公式_自然数平方数列和立方数列求和公式
自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导? 即: (1) 1^2+2^2+3^2+--+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (2) 1^3+2^3+3^3+--+n^3=[n(n+1)/2]^2 推 ...
一个无穷开根号数列的收敛性
见到北京大学的数学分析专业期末考试题,发现一道都不会做.试题不算太难,很多数学技巧不知道或忘记了.有一道数列收敛性试题. an=1+2+3+⋯+nnnnna_n=\sqrt[n]{1+\sqrt[n] ...
交错判别法判断数列的收敛性
在绝对值判别法失效后(即可以确定,非绝对收敛),可使用交错判别法. 比较简单,只需三步,直接判断是否收敛. 1.是否交错,即,是否是一正一负参差出现 2.是否是绝对值递减的 3.|an|是否收敛于0 ...
高等数学一：函数与极限二：收敛数列的保号性以及其推论的理解
数列的保号性,是告诉我们,极限如果大于0,或者小于0.总是存在他周围的一个范围,会让n为一定范围的数列项落入.这个范围,随着n的增大无限的缩小,就是不可能左右相等最后等于该极限值.但是他始终是存在的. ...
斐波那契数列编程python_fibonacci数列-斐波那契数列-python编程
未完待续~ 了解fibonacci数列: 斐波纳契数列(Fibonacci Sequence),又称黄金分割数列. 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610 ...
Python输出黄金分隔数列前n项。黄金分隔数列由Fibonacci数列相邻两项之比组成：1/1，1/2，2/3，3/5，5/8，...其取值逐渐接近黄金分隔数。
from fractions import Fractionfor m in range(0, 2):n = int(input('你想输出黄金分割数列的多少项?'))c=[]def fib(n):a ...
「BZOJ1485」[HNOI2009] 有趣的数列（卡特兰数列）
「BZOJ1485」[HNOI2009] 有趣的数列 Description 我们称一个长度为2n的数列是有趣的,当且仅当该数列满足以下三个条件: (1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{ai ...

数学分析-1.2数列和收敛数列-例题1、2、3

数学分析-1.2数列和收敛数列-例题1、2、3相关推荐

最新文章

热门文章