n平方的求和公式_自然数平方数列和立方数列求和公式
自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导?
即:
(1)
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
(2)
1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
推导过程如下:
一
.
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-
(2+3+4+...+n)
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