FFT蝶形算法的verilog实现专题——基-4 频率抽取FFT算法matlab实现

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FFT蝶形算法的verilog实现专题——基-4 频率抽取FFT算法matlab实现

基-4 频率抽取FFT公式推导：

N为4的整数倍，例如N = 4 16 64 256等

一个N 点序列x(n) 的DFT 定义为:

其FFT的结果为 X(0),X(1),X(2)…X(N-1)
式中：
假定N = 4 m ,式(1) 先按时域前、后分开,可写成:

式(2) 可进一步改写为:

在频域X(k) 上将k 分解后进行抽取,分别令k 等于4r,4r+2,4r+1,4r+3(r=0,1,……,N/4-1) 。式(3) 可写为:

从上面4个公式归纳为以下表格：

下面以一个64点FFT为例子的MATLAB程序来描述一下上面的算法：(程序段2)

close all; clear all; clc;
N = 64;
n = 0:N/4-1;
data(1:64) = randn(1,64) + j*randn(1,64);
fft2_1 = fft(data(1:16) + data(33:48) + data(17:32) + data(49:64));
fft2_2 = fft(((data(1:16) + data(33:48)) - (data(17:32) +  data(49:64))).*exp(-j*2*pi/N*(2*n)));
fft2_3 = fft(((data(1:16) - data(33:48)) - j*(data(17:32) -  data(49:64))).*exp(-j*2*pi/N*(1*n)));
fft2_4 = fft(((data(1:16) - data(33:48)) + j*(data(17:32) -  data(49:64))).*exp(-j*2*pi/N*(3*n)));
fft2(1:4:64) = fft2_1;
fft2(3:4:64) = fft2_2;
fft2(2:4:64) = fft2_3;
fft2(4:4:64) = fft2_4;
fft1 = (fft(data));
plot(abs(fft1 - fft2))

运行结果为：

从图可以看出，直接对data进行FFT和对data进行了分组（4组）之后分别FFT，然后在组合，其结果和原本的FFT函数是完全一致的

写于2021年11月6日。
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