第一章建立数学模型

本章作为全书的导言和数学模型的概述，主要讨论建立数学模型的意义、方法和步骤，给读者以建立数学模型的全面的、初步的了解。

1.1 从现实对象到数学模型

原型：指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。

模型：指为了某个特定的目的而将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。

数学模型：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。

1.2 数学建模的重要运用

（1）分析与设计：例如描述药物浓度在人体内的变化；建立跨音速流和激波的数学模型，用数值模拟设计新的飞机翼型；

（2）预报与决策：生产过程中产品质量指标的预报、气象预报、人口预报、经济增长预报等；使经济效益最大的价格策略、使费用最少的设备维修方案；

（3）控制与优化：电力、化工生产过程的最优控制、零件设计中的参数优化；

（4）规划与管理：生产计划、资源配置、运输网络规划、水库优化调度，以及排队策略、物流管理等。

1.3 建模示例一：包饺子中的数学

【问题】假设1kg面和1kg馅可以包出100个中等大小的饺子，若某一天馅做多了而面没有变，为了把馅全部包完，请问：

（1）应该让每个饺子小一些，多包几个，还是每个饺子大一些，少包几个？

（2）如果要包大饺子，那么如果100个饺子可以包1kg馅，请问50个饺子可以包多重的馅？

【问题分析】直觉上我们会认为”大饺子包的馅多“，所以应该包大饺子。但是大饺子虽然包的馅多，但用的面皮也多，这就需要比较馅多和面多二者之间的数量关系。

首先，我们要把包饺子用的馅和面皮与数学概念联系起来，那就是物体的体积和表面积。假设大饺子的体积为V，表面积为S，小饺子的体积为v，表面积为s，则问题转化为：如果一个大饺子的面皮可以做成n个小饺子的面皮，那么V和nv哪个更大？大多少？

【模型假设】进行比较的前提就是所有饺子的面皮一样厚。在这个条件下，大饺子和小饺子的面皮面积满足
S=nS①S=nS① S=nS①
为了比较不同大小饺子馅的体积，我们还需要假设所有饺子的形状一样。

【模型建立】能够把体积和表面积联系起来的就是半径。虽然饺子并不是一个标准的几何物体，但是我们可以引入所谓“特征半径”R和r，使得
V=k1R3,S=k2R2②V=k_1R^3,S=k_2R^2 ② V=k1R3,S=k2R2②

v=k1r3,s=k2r2③v=k_1r^3,s=k_2r^2③ v=k1r3,s=k2r2③

成立。注意：在所有饺子形状一样的情况下，上述式子的比例系数k₁相同、k₂也相同。

对于②和③，消去R和r，可得
V=kS32,v=ks32④V=kS^\frac{3}{2},v=ks^\frac{3}{2}④ V=kS23,v=ks23④
其中k由k₁和k₂所决定，且两个k相同。现在我们联立①~④，可以求得
V=n32v=n(nv)⑤V=n^\frac{3}{2}v=\sqrt{n}(nv)⑤ V=n23v=n(nv)⑤
上述第⑤式为包饺子问题的数学模型。

【结果解释】模型⑤不仅定性说明了V比nv大（n>1），大饺子比小饺子包的馅更多，而且给出了定量结果。对于问题（2），可以算出包50个饺子时所用的馅的重量为
m=10050=2(kg)m=\sqrt{\frac{100}{50}}=\sqrt{2}(kg) m=50100=2(kg)
即50个饺子可以包√2kg（约为1.41kg）的馅。

1.4 建模示例二：路障间距的设计

【问题】在需要减速慢行的机动车道路中间，常常设置用于限制汽车速度的路障。路障之间相距太远，起不到限制车速的作用，相距太近又会引起行车的不变，所以应该有一个合适的间距。请问：如果要求限制车速不超过40km/h，路障的间距应该是多少？

【问题分析】我们可以设想，汽车通过路障后，司机就会加速，到40km/h时让司机因为前面有一个路障而减速，直至路障处车速接近于零。

按照这种分析，如果认为汽车在相邻两个路障之间一直做匀加速/匀减速运动，则只需要知道汽车的加速度，就可以算出两个相邻路障之间应有的间距。

【收集数据】现在我们需要知道汽车的加速度是多少。尽管我们可以直接查询资料，但是我们通常查到的都是最大加速度，不适用于我们建模的问题。因此，一个简单的方法就是请一个（甚至若干个）普通司机在与欲设计路障的环境相似的道路上模拟有路障的情况作为模拟，通过记录行驶中的车速和对应的时间来求出加速度。

现假设我们已经得到了两个表格，分别为加速行驶的测试数据与减速行驶的测试数据：

表1 加速行驶的测试数据

速度(km·h^-1)	0	10	20	30	40
时间(s)	0	1.6	3.0	4.2	5.0

表2 减速行驶的测试数据

速度(km·h^-1)	40	30	20	10	0
时间(s)	0	2.2	4.0	5.5	6.8

【模型假设】①我们假设汽车通过每个路障时速度均为零；

②我们假设汽车加速时一定做匀加速运动，汽车减速时一定做匀减速运动，汽车不做匀速运动。

【模型建立】记汽车加速行驶的举例为s₁，时间为t₁，加速时的加速度为a₁，减速行驶的举例为s₂，减速时的加速度为a₂，限速为v_max，则根据物理定律，可知
s1=12a1t12,s2=12a2t22①s_1=\frac{1}{2}a_1t_1^2,s_2=\frac{1}{2}a_2t_2^2① s1=21a1t12,s2=21a2t22①

vmax=a1t1,vmax=a2t2②v_ {max}=a_1t_1,v_ {max}=a_2t_2② vmax=a1t1,vmax=a2t2②

s=s1+s2③s=s_1+s_2③ s=s1+s2③

联立①~③，消去t₁t₂可得
s=vmax22(1a1+1a2)④s=\frac{v_ {max}^2}{2}(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2})④ s=2vmax2(a11+a21)④
该式子为路障间距设计的数学模型。对于某个给定限速v_max的问题，我们可以由测试数据估计出两个加速度a₁和a₂后，即可计算出路障间距s。

【模型计算】以速度v为横坐标、时间t为纵坐标，将表1、表2的数据分别用MATLAB做成散点图，并用最小二乘法求出回归曲线：

%表1
clear
X=[0,2.7,5.5,8.3,11.1];  %把速度单位换算成了m/s
Y=[0,1.6,3.0,4.2,5.0];
coefficient=polyfit(X,Y,1);
y1=polyval(coefficient,X);
plot(X,Y,'o',X,y1,'-')

%表2
clear
X=[11.1,8.3,5.5,2.7,0];   %把速度单位换算成了m/s
Y=[0,2.2,4.0,5.5,6.8];
coefficient=polyfit(X,Y,1);
y1=polyval(coefficient,X);
plot(X,Y,'o',X,y1,'-')

则求出的散点图和回归曲线折线图如下图所示。

由MATLAB的运行结果，可以求出coefficient分别为[0.4529,0.26]和[-0.6082,7.0575]，即两个回归方程分别为
v1=0.4529t+0.26v_1=0.4529t+0.26 v1=0.4529t+0.26

v2=−0.6082t+7.0575v_2=-0.6082t+7.0575 v2=−0.6082t+7.0575

即
a1=0.4529m/s2,a2=−0.6082m/s2a_1=0.4529m/s^2,a_2=-0.6082m/s^2 a1=0.4529m/s2,a2=−0.6082m/s2
带入④式，可知
s=(40÷3.6)22(0.4529+0.6082)=65.37ms=\frac{(40\div3.6)^2}{2}(0.4529+0.6082)=65.37m s=2(40÷3.6)2(0.4529+0.6082)=65.37m

1.5 数学建模的一般步骤

①模型准备：了解问题的实际背景，搜集必要的信息，尽量弄清对象的主要特征，形成一个比较清晰地问题，由此初步确定要使用哪一类模型。

②模型假设：根据对象的特征和建模的目的，抓住问题本质，选择性地忽略次要因素，作出必要的、合理的假设。

③模型构成：根据所做的假设，用数学语言、符号来描述对象的内在规律，建立包含常量、变量等数学模型。需要遵循的一个原则是：尽量使用简单的数学工具。

④模型求解：可以通过解方程、画图形、优化方法、数值计算、统计分析等各种数学方法，特别是数学软件和计算机技术来求解。

⑤模型分析：如误差分析、统计分析、模型对数据的灵敏性分析爱、对假设的强健性分析等。

⑥模型检验：把求解和分析的结果翻译回实际问题，对比结果与实际情况是否合理、是否适用。
④模型求解：可以通过解方程、画图形、优化方法、数值计算、统计分析等各种数学方法，特别是数学软件和计算机技术来求解。

⑤模型分析：如误差分析、统计分析、模型对数据的灵敏性分析爱、对假设的强健性分析等。

⑥模型检验：把求解和分析的结果翻译回实际问题，对比结果与实际情况是否合理、是否适用。