位运算初步入门状态压缩操作

位运算

程序中的所有数在计算机内存中都是以二进制的形式储存的。位运算就是直接对整数在内存中的二进制位进行操作。

位运算的用处很多，也很强大。

首先再学习位运算之前，我们先复习以下，编码知识

在计算机中，正数是直接用原码表示的，如5，在计算机中就表示为：0000 0101。

负数用补码表示，如-5，在计算机中表示为1111 1011。

原码反码补码问题

原码：将一个整数，转换成二进制，就是其原码。

如：3的二进制是 0000 0011 原码就是0000 0011 -3的原码是 1000 0011

反码：正数的反码就是其原码；负数的反码是将原码中，除符号位以外，每一位取反。

如 3的反码是 0000 0011 -3的反码是 1111 1100

补码：正数的补码就是其原码；负数的反码+1就是补码。

如 3的补码是 0000 0011 -3的补码是1111 1101

位运算：

& 按位与操作

相同位的两个数字都为1，则为1；若有一个不为1，则为0。

3&5 3： 0000 0011

5： 0000 0101

&————————

3&5 0000 0001

| 按位或操作

相同位只要一个为1即为1。

3|5 3： 0000 0011

5： 0000 0101

|————————

3|5： 0000 0111

^按位异或操作

规则：两个数对应位相同运算结果为0 对应位不同运算结果为1

3^5 3： 0000 0011

5： 0000 0101

^————————

3^5 0000 0110

性质：异或运算满足结合律和交换律

满足消去律 a^b=b^c 则a=c

a^a=0 (a^b)^b=0

所以交换两个数的方法可以这么写：

void swap(int a,int b)
{a=a+b;b=a-b;a=a-b;
}
void swap(int a,int b)
{a=a^b;b=a^b;a=a^b;
}

~按位取反

~是一个单目运算符作用是对二进制每一位数取反

3 0000 0011

~3 1111 1100

*例如 -1在计算机里的补码是 1111 1111

所以 ~（-1）=0000 0000 =0

所以ACM中经常看到 while(~scanf("%d",&a)) 代表 scanf返回-1（即EOF）时结束

<<左移运算符 >>右移运算符

<<左移按照指定的位数将一个数的二进制数值向左移位左移后低位补0 移除的高位舍弃

>>右移按照指定的位数将一个数的二进制数值向右移位移除的低位舍弃如果是无符号数则高位补0 若有符号则高位补符号或者补0（不同处理器不一样）

如 a=-8 内存中补码为1111 1000

则a>>2=-2 右移两位后为 1111 1110 为-2

状态压缩

这是位运算的一个重要应用

比如一个迷宫 1代表墙 0代表可以走通常我们用二维数组存迷宫做BFS或DFS

那么迷宫不大的时候我们可以用二进制数来表示这个迷宫

我们可以把n*m的迷宫每一行表示为一个m位的二进制数那么n个整数就可以表示这个迷宫了

同样的如果n*m不大的话我们也可以把整个迷宫表示为一个n*m位的二进制数

而迷宫的各种操作我们可以借助位运算来完成如下表

（切记位运算的优先级很低！使用的时候一定记得带上括号）

去掉最后一位	(101101->10110)	x >> 1
在最后加一个0	(101101->1011010)	x << 1
在最后加一个1	(101101->1011011)	(x << 1)+1
把最后一位变成1	(101100->101101)	x \| 1
把最后一位变成0	(101101->101100)	(x \| 1)-1
最后一位取反	(101101->101100)	x ^ 1
把右数第k位变成1	(101001->101101,k=3)	x \| (1 << (k-1))
把右数第k位变成0	(101101->101001,k=3)	x & ~(1 << (k-1))
右数第k位取反	(101001->101101,k=3)	x ^ (1 << (k-1))
取末k位	(1101101->1101,k=5)	x & (1 << (k-1))
取右数第k位	(1101101->1,k=4)	(x >> (k-1)) & 1
把末k位变成1	(101001->101111,k=4)	x ^ (1 << (k-1))
末k位取反	(101001->100110,k=4)	x^ (1 << (k-1))
把右边连续的1变成0	(100101111->100100000)	x & (x+1)
把右起第一个0变成1	(100101111->100111111)	x \| (x+1)
把右边连续的0变成1	(11011000->11011111)	x \| (x-1)
取右边连续的1	(100101111->1111)	(x ^ (x+1)) >> 1