【引言】

今天讲讲位运算与状态压缩。

        位运算涉及系统底层的运算，骚操作很多；状态压缩则是编程中空间优化的有效手段，应该说两者本身其实并没有太直接的联系，但是在实际使用时会有一定的结合，所以还是放到一起讲。

【位运算介绍】

我们知道程序中的所有数字(不止数字，包括图片、视频等任何元素)在计算机内存中都是以二进制的形式储存的，而位运算就是直接对二进制进行操作。

计算机中的数字都以二进制的形式存储

听起来似乎很高大上，事实上用起来很简单，我们先看看常见的两个位运算："按位与(&)"、"按位或(|)"

例.

a = 5; b = 6

print(a & b)

print(a | b)

输出结果：

4

7

为什么是这个结果？

因为系统中：

"5"的二进制是"101"

"6"的二进制是"110"

而其运算方式是"一位一位"地算(都叫位运算了嘛)。

首先是"按位与"：

1  0  1

&     1  1  0

——————

1  0  0

可以注意到每一位都是按照"与"地方式计算的，即：

1 & 1 → 1

0 & 1→ 0

1 & 0→ 0

接下来是"按位或"：

同理，每一位都进行"或运算"，得到"111"。

这就是位运算，每一个二进制位进行相应的运算得到结果(C++入门被&和&&两个符号坑过的举爪...)。

PYTHON3中常用位运算有6种，包括：

按位与(&)：运算时，都为1则为1，否则0

按位或(|)：其中一个为1时则结果1，否则0

按位异或(^)：不同为1，相同为0

按位取反(~)：每一位进行0和1的变换

左移(<向右移动N位，高位补0，低位去掉

右移(>>)：向左侧移动N位，高位去掉，低位补0

①按位与：

5 & 6 → 4

②按位或：

5 | 6 → 7

③按位异或：

5 ^ 6 → 3

④按位取反：

~5 → 2

⑤左移：

5 << 1 → 1

⑥右移：

5 >> 1 → 2

位运算的骚操作：结合位运算，可以优化许多功能

①将整数x整除2或乘以2：

x >> 1 即整除2

x << 1 即乘以2

这里用到了二进制的原理，由于位运算是相对更为底层的运算，所以速度更快

②将整数x在二进制的右数第k位取反：

x ^ (1<

例. 将数字7在二进制下的第2位取反，则：

7 ^ (1<

即，(111)2 ^ (10)2 → (101)2

(什么？你问这个操作有什么用？该有用时自会有用，，，)

③获取整数x在二进制下的最低位的1(即最右边的1)：

x&-x(树状数组专用，暂时不解释了)

④将整数x在二进制下最低位的1变成0：

x = x&(x-1)

一般用于求解x在二进制下1的个数，例.

a = 5; c = 0

while a>0:

    a = a & a-1

    c += 1

print(c)

输出为2，因为5的二进制是101，第一次先将最右边的1变为0，则101→100，第二次循环继续将最右边的1变为0，则100→000，循环结束。

差不多常用的就这些了。

【状态压缩介绍】

又是一个听起来很厉害实际上不是太难(但也可以难上天)的算法。说白了，就是用一个十进制数表示一个集合的状态。

例如，有5盏灯，这5盏灯有的开着，有的关闭，我们就可以用一串0和1来表示这5盏灯(1表示开，0表示关)，则看为二进制数就是10110，即22。

这样一来，我们可以用22表示当前5盏灯的状态，免去了数组的存储，在空间上进行了优化，也给映射之类的操作提供了方便(比如可以将这些状态作为数组下标处理)。

那么如果某一盏灯变化了状态怎么办？

还记得位运算的第2个骚操作么，例如左数第四盏灯如果关闭了，则只需将二进制下的右数第二位取反即可，也就是22^(1<，即二进制下的10100。

状态压缩本质是利用二进制表示一个集合的状态(当然如果状态种类比较多，则可能有三进制、四进制甚至更多，例如5个人玩石头剪刀布，则每一组方案需要利用3进制表示，因为每个人有石头剪刀布三种状态)。而状态改变时就需要操作对应的十进制数，也就是利用到位运算了。

状态压缩最常见的应用是与动态规划的结合，这不是本篇的重点，关于状压动规还是先挖个坑吧，是挺有意思的算法。

另一个冷门应用就是二进制枚举法，详见之前的文章：二进制枚举法