文章目录

一、前言
二、再谈二进制
- 1、二进制数值表示
- 2、二进制加法
- 3、二进制减法
三、位运算简介
- 1、位与的定义
- 2、位与运算符的简单应用
- - 1）奇偶性判定
  - 2）取末五位
  - 3）消除末尾五位
  - 4）2的幂判定
- 3、位或的定义
- 4、位或运算符的简单应用
- - 1）设置标记位
  - 2）置空标记位
- 5、异或运算符的定义
- 6、异或运算符的应用
- - 1）标记位取反
  - 2）变量交换
  - 3）出现奇数次的数
四、位运算概览
- 1、逻辑位运算
- - 1）位与
  - 2）位或
  - 3）异或
  - 4）按位取反
- 2、移位位运算
- - 1）左移
  - 2）右移

一、前言

今天主要内容是聊一聊二进制和位运算。
对应视频教程如下：位运算视频教程。

二、再谈二进制

我们在学习光天化日学C语言（06）- 进制转换入门的时候，曾经提到过二进制。
二进制就是逢二进一，计算机中的存储采用的就是二进制。在计算机中，非零即一。

1、二进制数值表示

例如，在计算机中，我们可以用单纯的 0 和 1 来表示数字。

1、101、1100011、100101010101 都是二进制数。
123、423424324、101020102101AF 则不是，因为有 0 和 1 以外的数字位。

一般为了不产生二义性，我们会在数字的右下角写上它的进制，例如： $1010_{(10)}$ 代表的是十进制下的 1010，也就是十进制下的 “一千零一十”。 $1010_{(2)}$ 代表的是二进制下的 1010，也就是十进制下的 “十”。

2、二进制加法

二进制加法采用从低到高的位依次相加，当相加的和为2时，则向高位进位。

例如，在二进制中，加法如下： $1_{(2)} + 1_{(2)} = 10_{(2)} \\ 1_{(2)} + 0_{(2)} = 1_{(2)} \\ 0_{(2)} + 1_{(2)} = 1_{(2)} \\ 0_{(2)} + 0_{(2)} = 0_{(2)}$

3、二进制减法

二进制减法采用从低到高的位依次相减，当遇到 0 减 1 的情况，则向高位借位。

例如，在二进制中：减法如下： $1_{(2)} - 1_{(2)} = 0_{(2)} \\ 1_{(2)} - 0_{(2)} = 1_{(2)} \\ 10_{(2)} - 1_{(2)} = 1_{(2)} \\ 0_{(2)} - 0_{(2)} = 0_{(2)}$ 而我们今天要讲的位运算正是基于二进制展开的。

三、位运算简介

位运算可以理解成对二进制数字上的每一个位进行操作的运算。位运算分为逻辑（布尔）位运算符和移位位运算符。
逻辑位运算符又分为位与(&)、位或(|)、异或(^)、按位取反(~)；移位位运算符分为左移(<<) 和右移(>>)。
如图所示：

1、位与的定义

位与运算符是一个二元的位运算符，也就是有两个操作数，表示为x & y。
位与运算会对操作数的每一位按照如下表格进行运算，对于每一位只有 0 或 1 两种情况，所以组合出来总共 $2^2 = 4$ 种情况。

左操作数	右操作数	结果
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

通过这个表，我们得出一些结论：
1）无论是 0 或 1，只要位与上 1，还是它本身；
2）无论是 0 或 1，只要位与上 0，就变成 0；

#include <stdio.h>
int main() {int a = 0b1010;           // (1)int b = 0b0110;           // (2)printf("%d\n", (a & b) ); // (3)return 0;
}

$(1)$ 在C语言中，以0b作为前缀，表示这是一个二进制数。那么a的实际值就是 $1010)_2$ 。
$(2)$ 同样的，b的实际值就是 $0110)_2$ ；
$(3)$ 那么这里a & b就是对 $1010)_2$ 和 $0110)_2$ 的每一位做表格中的&运算。

所以最后输出结果为：2
因为输出的是十进制数，它的二进制表示为： $0010)_2$ 。注意：这里的 前导零 可有可无，作者写上前导零只是为了对齐以及让读者更加清楚位与的运算方式。

2、位与运算符的简单应用

1）奇偶性判定

我们判断一个数是奇数还是偶数，往往是通过取模%来判断的，如下：

#include <stdio.h>
int main() {if(5 % 2 == 1) {printf("5是奇数\n");}if(6 % 2 == 0) {printf("6是偶数\n");}return 0;
}

然而，我们也可以这么写：

#include <stdio.h>
int main() {if(5 & 1) {printf("5是奇数\n");}if( (6 & 1) == 0 ) {printf("6是偶数\n");}return 0;
}

这是利用了奇数和偶数分别的二进制数的特性，如下表所示：

-	二进制末尾位
奇数	1
偶数	0

所以，我们对任何一个数，通过将它和 0b1进行位与，结果为零，则必然这个数的二进制末尾位为0，根据以上表就能得出它是偶数了；否则，就是奇数。

2）取末五位

给定一个数，求它的二进制表示的末五位，以十进制输出即可。

这个问题的核心就是：我们只需要末五位，剩下的位我们是不需要的，所以可以将给定的数位与上0b11111，这样一来就直接得到末五位的值了。代码实现如下：

#include <stdio.h>
int main() {int x;scanf("%d", &x);printf("%d\n", (x & 0b11111) );return 0;
}

3）消除末尾五位

给定一个 32 位整数，要求消除它的末五位。

还是根据位与的性质，消除末五位的含义，有两层：
1）末五位，要全变成零；
2）剩下的位不变；
那么，根据位运算的性质，我们需要数，它的高27位都为1，低五位都为 0，则这个数就是： $11111111111111111111111111100000)_2$ 但是如果要这么写，代码不疯掉，人也会疯掉，所以一般我们把它转成十六进制，每四个二进制位可以转成一个十六进制数，所以得到十六进制数为0xffffffe0。代码实现如下：

#include <stdio.h>
int main() {int x;scanf("%d", &x);printf("%d\n", (x & 0xffffffe0) );return 0;
}

4）2的幂判定

请用一句话，判断一个正数是不是2的幂。

如果一个数是 2 的幂，它的二进制表示必然为以下形式： $100...00⏟k1\underbrace{00...00}_{\rm k}$

00...00 这个数的十进制值为

2^k

。那么我们将它减一，即

2^k-1

的二进制表示如下（参考二进制减法的借位）：

011...11⏟k0\underbrace{11...11}_{\rm k}

于是这两个数位与的结果为零，于是我们就知道了如果一个数

x

是 2 的幂，那么x & (x-1)必然为零。而其他情况则不然。
所以本题的答案为：

    (x & (x-1)) == 0

3、位或的定义

位或运算符是一个二元的位运算符，也就是有两个操作数，表示为x | y。
位或运算会对操作数的每一位按照如下表格进行运算，对于每一位只有 0 或 1 两种情况，所以组合出来总共 $2^2 = 4$ 种情况。

左操作数	右操作数	结果
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

通过这个表，我们得出一些结论：
1）无论是 0 或 1，只要位或上 1，就变成1；
2）只有当两个操作数都是0的时候，才变成 0；

#include <stdio.h>
int main() {int a = 0b1010;           // (1)int b = 0b0110;           // (2)printf("%d\n", (a | b) ); // (3)return 0;
}

$(1)$ 在C语言中，以0b作为前缀，表示这是一个二进制数。那么a的实际值就是 $1010)_2$ 。
$(2)$ 同样的，b的实际值就是 $0110)_2$ ；
$(3)$ 那么这里a | b就是对 $1010)_2$ 和 $0110)_2$ 的每一位做表格中的|运算。

所以最后输出结果为：14
因为输出的是十进制数，它的二进制表示为： $1110)_2$ 。

4、位或运算符的简单应用

1）设置标记位

【例题1】给定一个数，判断它二进制低位的第 5 位，如果为 0，则将它置为 1。

这个问题，我们很容易联想到位或。
我们分析一下题目意思，如果第 5 位为 1，不用进行任何操作；如果第 5 位为 0，则置为 1。言下之意，无论第五位是什么，我们都直接置为 1即可，代码如下：

#include <stdio.h>
int main() {int x;scanf("%d", &x);printf("%d\n", x | 0b10000); return 0;
}

2）置空标记位

【例题2】给定一个数，判断它二进制低位的第 5 位，如果为 1，则将它置为 0。

这个问题，我们在学过《算法零基础100讲》(第42讲) 位运算 (位与) 入门以后，很容易得出这样一种做法：

#include <stdio.h>
int main() {int x;scanf("%d", &x);printf("%d\n", x & 0b11111111111111111111111111101111); return 0;
}

其它位不能变，所以位与上1；第5位要置零，所以位与上0；
这样写有个问题，就是这串数字太长了，一点都不美观，而且容易写错，当然我们也可以转换成十六进制，转换的过程也有可能出错。
而我们利用位或，只能将第5位设置成1，怎么把它设置成0呢？

我们可以配合减法来用。分成以下两步：
1）首先，强行将低位的第5位置成1；
2）然后，强行将低位的第5位去掉；

第 $(1)$ 步可以采用位或运算，而第 $(2)$ 步，我们可以直接用减法即可。代码实现如下：

#include <stdio.h>
int main() {int x;int a = 0b10000; scanf("%d", &x);printf("%d\n", (x | a) - a ); return 0;
}

注意：直接减是不行的，因为我们首先要保证那一位为 1，否则贸然减会产生借位，和题意不符。

5、异或运算符的定义

异或运算符是一个二元的位运算符，也就是有两个操作数，表示为x ^ y。
异或运算会对操作数的每一位按照如下表格进行运算，对于每一位只有 0 或 1 两种情况，所以组合出来总共 $2^2 = 4$ 种情况。

左操作数	右操作数	结果
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

通过这个表，我们得出一些结论：
1）两个相同的十进制数异或的结果一定为零。
2）任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。
3）异或运算满足结合律和交换律。

#include <stdio.h>
int main() {int a = 0b1010;           // (1)int b = 0b0110;           // (2)printf("%d\n", (a ^ b) ); // (3)return 0;
}

$(1)$ 在C语言中，以0b作为前缀，表示这是一个二进制数。那么a的实际值就是 $1010)_2$ 。
$(2)$ 同样的，b的实际值就是 $0110)_2$ ；
$(3)$ 那么这里a ^ b就是对 $1010)_2$ 和 $0110)_2$ 的每一位做表格中的^运算。

所以最后输出结果为：12。因为输出的是十进制数，它的二进制表示为： $1100)_2$ 。

6、异或运算符的应用

1）标记位取反

【例题1】给定一个数，将它的低位数起的第 4 位取反，0 变 1，1 变 0。

这个问题，我们很容易联想到异或。我们分析一下题目意思，如果第 4 位为 1，则让它异或上 0b1000就能变成 0；如果第 4 位为 0，则让它异或上 0b1000就能变成 1，也就是无论如何都是异或上 0b1000，代码如下：

#include <stdio.h>
int main() {int x;scanf("%d", &x);printf("%d\n", x ^ 0b1000); return 0;
}

2）变量交换

【例题2】给定两个数 $a$ 和 $b$ ，用异或运算交换它们的值。

这个是比较老的面试题了，直接给出代码：

#include <stdio.h>
int main() {int a, b;while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {a = a ^ b;   // (1)b = a ^ b;   // (2)a = a ^ b;   // (3)printf("%d %d\n", a, b);}return 0;
}

我们直接来看 $(1)$ 和 $(2)$ 这两句话，相当于b等于a ^ b ^ b，根据异或的几个性质，我们知道，这时候的b的值已经变成原先a的值了。
而再来看第 $(3)$ 句话，相当于a等于a ^ b ^ a，还是根据异或的几个性质，这时候，a的值已经变成了原先b的值。
从而实现了变量a和b的交换。

3）出现奇数次的数

【例题3】输入 $n$ 个数，其中只有一个数出现了奇数次，其它所有数都出现了偶数次。求这个出现了奇数次的数。

根据异或的性质，两个一样的数异或结果为零。也就是所有出现偶数次的数异或都为零，那么把这 $n$ 个数都异或一下，得到的数就一定是一个出现奇数次的数了。

#include <stdio.h>
int main() {int n, x, i, ans;scanf("%d", &n);ans = 0;for(i = 0; i < n; ++i) {scanf("%d", &x);ans = (ans ^ x);} printf("%d\n", ans);return 0;
}

光天化日学C语言（14）- 位运算 & 的应用
光天化日学C语言（15）- 位运算 | 的应用
光天化日学C语言（16）- 位运算 ^ 的应用
光天化日学C语言（17）- 位运算 ~ 的应用
光天化日学C语言（18）- 位运算 << 的应用
光天化日学C语言（19）- 位运算 >> 的应用

四、位运算概览

今天，我们先来对位运算进行一个初步的介绍。后面会对每个运算符的应用做详细介绍，包括刷题的时候如何运用位运算来加速等等。

1、逻辑位运算

对于布尔位运算，总共有四个，如下表所示：

C语言运算符表示	含义	示例
`&`	位与	`x & y`
`\|`	位或	`x \| y`
`^`	异或	`x ^ y`
`~`	按位取反	`x ~ y`

1）位与

位与就是对操作数的每一位按照如下表格进行运算，对于每一位只有 0 或 1 两种情况，所以组合出来总共 $2^2 = 4$ 种情况。

左操作数	右操作数	结果
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

#include <stdio.h>
int main() {int a = 0b1010;           // (1)int b = 0b0110;           // (2)printf("%d\n", (a & b) ); // (3)return 0;
}

$(1)$ 在C语言中，以0b作为前缀，表示这是一个二进制数。那么a的实际值就是 $1010)_2$ 。
$(2)$ 同样的，b的实际值就是 $0110)_2$ ；
$(3)$ 那么这里a & b就是对 $1010)_2$ 和 $0110)_2$ 的每一位做表格中的&运算。
所以最后输出结果为：

因为输出的是十进制数，它的二进制表示为： $0010)_2$ 。
注意：这里的 前导零 可有可无，作者写上前导零只是为了对齐以及让读者更加清楚位与的运算方式。

2）位或

位或的运算结果如下：

左操作数	右操作数	结果
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

我们来看以下这段程序：

#include <stdio.h>
int main() {int a = 0b1010;int b = 0b0110;         printf("%d\n", (a | b) );return 0;
}

以上程序的输出结果为：

即二进制下的 $1110)_2$ 。

3）异或

异或的运算结果如下：

左操作数	右操作数	结果
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0