RTree算法及介绍

空间索引是对存储在介质上的数据位置信息的描述，用来提高系统对数据获取的效率。GIS涉及的各种海量复杂数据存储于外存，如果对磁盘上的数据的位置不加以记录和组织，每查询一个数据项都要扫描整个数据文件，则这种访问磁盘的代价将严重影响系统的效率。因此索引的建立与处理至关重要。此外GIS所表现的地理数据多维性使得传统的B树索引不再适合，因为B树所针对的字符、数字等传统数据类型是在一个良序集之中，即都是在一个维度上，集合中任给两个元素，都可以在这个维度上确定其关系只可能是大于、小于、等于三种，若对多个字段进行索引，必须指定各个字段的优先级形成一个组合字段，而地理数据的多维性，在任何方向上并不存在优先级问题，因此B树并不能对地理数据进行有效的索引，所以需要研究特殊的能适应多维特性的空间索引方式。

1984年Guttman发表了《R树:一种空间查询的动态索引结构》[1]一种高度平衡树，由中间节点和叶节点组成，实际数据对象的最小外接矩形存储在叶节点中，中间节点通过聚集其低层节点的外接矩形形成，包含所有这些外接矩形。其后，人们在此基础上针对不同空间运算提出了不同改进，才形成了一个繁荣的索引树族，是目前流行的空间索引。

R树是一种采用对象界定技术的高度平衡树,是B 树在 k 维空间上的自然扩展，它将空间对象按范围划分，每个结点都对应一个区域和一个磁盘页，非叶结点的磁盘页中存储其所有子结点的区域范围，非叶结点的所有子结点的区域都落在它的区域范围之内；叶结点的磁盘页中存储其区域范围之内的所有空间对象的外接矩形。每个结点所能拥有的子结点数目有上、下限，下限保证对磁盘空间的有效利用，上限保证每个结点对应一个磁盘页，当插入新的结点导致某结点要求的空间大于一个磁盘页时，该结点一分为二。R树是一种动态索引结构，即：它的查询可与插入或删除同时进行，而且不需要定期地对树结构进行重新组织。

R-Tree数据结构

（1）R-Tree是n叉树，n称为R-Tree的扇（fan）。

（2）每个结点对应一个矩形。

（3）叶子结点上包含了小于等于n的对象，其对应的矩为所有对象的外包矩形。

（4）非叶结点的矩形为所有子结点矩形的外包矩形。

R-tree具有以下性质：

（1）除根节点外，每个节点的项数介于最小项数m和最大项数M之间；

（2）根节点至少有两个孩子，除非它是叶子节点；

（3）所有叶子节点位于同一层；

（4）同一节点中项，其排列没有顺序要求

R-Tree的的评价标准为：

（1）位置上相邻的结点尽量在树中聚集为一个父结点。

（2）同一层中各兄弟结点相交部分比例尽量小。

R树是一种用于处理多维数据的数据结构，用来访问二维或者更高维区域对象组成的空间数据.R树是一棵平衡树。树上有两类结点：叶子结点和非叶子结点。每一个结点由若干个索引项构成。对于叶子结点，索引项形如(Index，Obj_ID)。其中，Index表示包围空间数据对象的最小外接矩形MBR，Obj_ID标识一个空间数据对象。对于一个非叶子结点，它的索引项形如(Index，Child_Pointer)。 Child_Pointer指向该结点的子结点。Index仍指一个矩形区域，该矩形区域包围了子结点上所有索引项MBR的最小矩形区域。一棵R树的如图1所示。

R-Tree算法描述

（I）插入算法

基本思想：找到合适的叶子节点，插入之，若需分裂，则由下至上调整MBR值。算法如下：

I1: 调用ChooseLeaf来选择一个合适的叶子节点L以容纳需插入项E

I2: 若L中还能容纳E，则加入之；否则调用SplitNode来获取两个节点L和LL，它们包含E和L中原有的所有项

I3: 调用AdjustTree,传递参数L,LL(若产生了分裂)

I4: 若节点分裂向上传播导致根节点的分裂，则生成新的根节点。

算法ChooseLeaf: 选择一个合适的叶子节点以放置新项E。合适的评价标准是插入E后的节点MBR面积增加度最少。

C1: 设N指向根结点root

C2: 若N是叶子节点，返回N

C3: 若N不是叶子节点，让F表示N中的一项，该项F容纳E后，则N在面积上只需作面积最小扩展

C4: 设N指向叶子节点，则返回C2.

算法AdjustTree: 从叶子节点向根节点进行调整

A1: 设N=L,若L进行了分裂，则设NN=LL

A2: 若N为根节点，则返回

A3: 设P为N的双亲节点，EN为节点P中指向N的项，调整项EN的MBR

A4: 若NN存在，创建一个新项ENN,使其指向NN，同时计算出ENN的MBR.将ENN加入P，若不能容纳则调用SplitNode产生节点P和PP,包含ENN和原来P中所有项

A5: 设N=P, NN=PP, 转至A2.

算法SplitNode: 将M+1项分成两组，将它们加入到两个新节点。

判断节点分裂好坏的一个标准为：分裂后，两个新节点对应的MBR的面积之和最小。下图展示了节点分裂的一个例子。

一个时间复杂度为二次（Quadratic）的分裂算法如下：

S1：调用PickSeeds选出两项，将它们分别作为两组的第一个元素；

S2：若所有项都已分配完，则返回；若一组中的项如此之少，以至于将剩下的所有项添至其中才能满足项数达到m的要求，则进行分配且返回；

S3：调用PickNext选择下一项，将其分配到某组中，该组在容纳该项后，MBR只需作最小面积扩展，转至S2.

算法PickSeeds：

PS1：对每一项E1和E2，计算d=area(E1和E2合并之后的MBR) – area(E1) – area(E2)；

PS2：选择d值最大的一对项。

算法PickNext：

PN1：对每一项E，计算d1=<将E加入组1后MBR增加的面积>，同理计算d2；

PN2：选出d1和d2值差距最大的项。

（2）R-tree删除算法

算法Delete（Entry E)：从R-tree中删除项E

D1：调用FindLeaf来寻找存放E的叶子结点L ;若没有找到则停止；

D2：从L中删去E；

D3：调用CondenseTree，传递参数L :

D4：:若根结点只有一个孩子，则让该孩子结点成为新根节点。

算法FindLeaf (NODE T, Entry E )

FL1：若T不是叶子结点，则对于T中每一个与E相重叠的项，将该项所指的结点作参数，递归调用FindLeaf

FL2：若T是叶子结点，则检查T中是否有与E相等的项，若有，则返回T

算法CondenseTree ：传递参数结点L ，该结点进行了删除项的操作

CT1：设N=L ，将存储被删结点的集合Q置为空；

CT2：若N是根，转至CT6；否则，设P为N的父节点，EN为P中指向N的项；

CT3：若N中的项数小于m，在P中删除EN，并把N加入到集合Q中；

CT4：若N没有被删除，调整EN的MBR；

CT5：设N=P,转向CT2；

CT6：重新插入集合Q中所有节点中的所有项，对于叶子节点中的项仍插入到叶子节点

中，但对于中间节点的项需要插入到其原来所在的那一层。

R树主要变体

R树最初由Guttman于1984年提出，其后，人们在此基础上针对不同的空间操作需求提出了各种改进方案。经过二十多年的发展，不断产生的R树变体逐渐形成了一个枝繁叶茂的空间索引R树家族。

1 R+树[2]

在Guttman的工作的基础上，许多R树的变种被开发出来， Sellis等提出了R+树[10]，R+树与R树类似，主要区别在于R+树中兄弟结点对应的空间区域无重叠，这样划分空间消除了R树因允许结点间的重叠而产生的“死区域”（一个结点内不含本结点数据的空白区域），减少了无效查询数，从而大大提高空间索引的效率，但对于插入、删除空间对象的操作，则由于操作要保证空间区域无重叠而效率降低。同时R+树对跨区域的空间物体的数据的存储是有冗余的，而且随着数据库中数据的增多，冗余信息会不断增长。

2 R*树[3]

在1990年，Beckman和Kriegel提出了最佳动态R树的变种——R*树[11]。R*树和R树一样允许矩形的重叠，但在构造算法R*树不仅考虑了索引空间的“面积”，而且还考虑了索引空间的重叠。该方法对结点的插入、分裂算法进行了改进，并采用“强制重新插入”的方法使树的结构得到优化。但R*树算法仍然不能有效地降低空间的重叠程度，尤其是在数据量较大、空间维数增加时表现的更为明显。R*树无法处理维数高于20的情况。

3 QR树

QR树利用四叉树将空间划分成一些子空间，在各子空间内使用许多R树索引，从而改良索引空间的重叠。QR树结合了四叉树与R树的优势，是二者的综合应用。实验证明：与R树相比，QR树以略大（有时甚至略小）的空间开销代价，换取了更高的性能，且索引目标数越多，QR树的整体性能越好。

4 SS树

SS树对R*树进行了改进，通过以下措施提高了最邻近查询的性能：用最小边界圆代替最小边界矩形表示区域的形状，增强了最邻近查询的性能，减少将近一半存储空间；SS树改进了R*树的强制重插机制。当维数增加到5是，R树及其变种中的边界矩形的重叠将达到90％，因此在高维情况（≧5）下，其性能将变的很差，甚至不如顺序扫描。

5 X树

X树是线性数组和层状的R树的杂合体，通过引入超级结点，大大地减少了最小边界矩形之间的重叠，提高了查询效率。X树用边界圆进行索引，边界矩形的直径（对角线）比边界圆大，SS树将点分到小直径区域。由于区域的直径对最邻近查询性能的影响较大，因此SS树的最邻近查询性能优于R*树；边界矩形的平均容积比边界圆小，R*树将点分到小容积区域；由于大的容积会产生较多的覆盖，因此边界矩形在容积方面要优于边界圆。SR树既采用了最小边界圆（MBS），也采用了最小边界矩形（MBR），相对于SS树，减小了区域的面积，提高了区域之间的分离性，相对于R*树，提高了邻近查询的性能。

参考文献

[1] A. Guttman. R-Trees: a dynamic index structure for spatial searching. In SIGMOD Conference, 1984.

[2]Sellis T. K. ,Roussopoulos N. , Faloutsos C. . The R+-tree: A dynamic index for multidimensional objects. In Proceedings of the 13th VLDB, Brighton, England, 1987, 507~ 518.

[3]Beckmann N. , Kriegel H. P. , Schneider R. , Seeger B. . The R*-tree: An efficient and robust access method for points and rectangle. In: Proceedings of SIGMOD, Atlantic City, New Jersey, 1990, 322~331.

http://blog.csdn.net/jiqiren007/archive/2010/03/14/5377750.aspx

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