具体数学-第9课(取整进阶与数论入门)
今天讲完了取整的最后一部分知识,并给第四章数论开了个头。
首先还是以一道例题开始我们今天的课程。
例题1
求和:
方法1
首先令
那么有
我们先算左半部分,先假设 ,那么有
而对于一般的 ,令 ,我们只需要计算 的部分,而这部分 ,所以结果为 。
所以总的结果为:
这里解释一下为什么没有算右半部分?因为右半部分就是 的这部分,已经计算过了。
方法2
因为 ,所以可以将原式替换掉,还是令 ,然后如下计算:
其中第二行交换了变量计算顺序。
定理1
这里直接介绍一个定理,就不证明了,过程比较复杂:
其中 是一个无理数。
这个公式说明了,无理数 的整数倍的小数部分均匀分布在 之间。
这就给了我们一个启示,我们可以用它来生成随机数啊!其他用处还有很多,自己想咯。
例题2
求如下和式:
其中整数 , 也是整数。
通过枚举 ,可以发现和式满足如下形式:
那么怎么计算出来呢?
首先做一个变形:
这就将原来的和式分为了三个部分求和。
第一个部分为:
具体怎么算留到下一章节,这里通过枚举可以发现它的值是有周期的,周期重复次数是 。所以算出来结果为:
第二个部分为:
第三个部分为:
所以总的结果为:
这里我们对结果稍稍变形,可以得到另一个结果:
可以发现, 和 是对称的!所以可以得到如下结论:
这有什么用呢?当 特别大、 很小的时候可以大大减少项的个数!
如果我们令 ,就会发现,得到的式子和之前证过的一个式子一模一样!
到这里为止,第三章取整就讲完了,下面开始讲第四章数论部分。
数论相关性质
整除定义
注意这里整除的定义中要求 。
最大公约数和最小公倍数
定义我就不说了,大家应该都知道的。
欧几里得定理
又叫辗转相除法,就是用来求最大公约数的。
扩展欧几里得定理
在用欧几里得定理求到最大公约数之后,反过来可以将最大公约数表示为两个数的线性和:
性质1
如果 ,那么 。
性质2
这个就是用了交换律,按照因子顺序倒过来算。
性质3
这个虽然变成了二重求和,但是对于每个 ,其实只有一个 有效。
性质4
这个一眼就不一定能看出来了。
左边等于:
右边等于:
可以看出左右两边相等。
算数基本定理
一个整数可以唯一表示为若干个素数乘积:
所以用指数形式来表示一个整数 ,例如 ,那么 可以表示为:
最大公约数和最小公倍数也能很方便的用指数形式计算:
其中最大公约数的每个素数的指数等于两个数对应指数最小值,最小公倍数的每个素数的指数等于两个数对应指数最大值。
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