通俗易懂的Monte Carlo的积分方法(三)

考虑曾经在参加MCM时的一个多重积分的计算难题
∫∫D(H−z(x,y))21+zx2+zy2dσ\int\int_{D}(H-z(x,y))^2\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}d\sigma ∫∫D(H−z(x,y))21+zx2+zy2dσ
其中：x2a2+y2b2+z2c2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1a2x2+b2y2+c2z2=1且z≥0z \geq 0z≥0。
采用Monte Carlo积分法(期望法)

用的是面向对象的模块化编程思想

Python代码：

import random
import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as plt
def z_value(a,b,c,x,y):return c*math.sqrt(1-x**2/(a**2)-y**2/(b**2))def z_dotx(a,b,c,x,y):return -c**2/a**2*x/z_value(a,b,c,x,y)def z_doty(a,b,c,x,y):return -c**2/b**2*y/z_value(a,b,c,x,y)def function_Calcul(x,y,H,a,b,c):if((x**2/(a**2)+y**2/(b**2))<1):return ((H-z_value(a,b,c,x,y))**2)*math.sqrt(1+(z_dotx(a,b,c,x,y))**2+z_doty(a,b,c,x,y)**2)else:return 0def int_Calcul(a,b,c,H,numbers):sum = 0Prop = []Prop_final = []S = 2 * a * 2 * bfor i in range(1,numbers):x_value = -a+2*a*random.random()y_value = -b+2*b*random.random()sum += function_Calcul(x_value,y_value,c,a,b,c)Prop.append(sum/(i)*S)for i in range(1,numbers):Prop_final.append(sum/(numbers)*S)plt.xlabel("Numbers")plt.ylabel("IntergalValue")plt.plot(range(1,numbers),Prop,color = 'blue',label = 'Change_value' )plt.plot(range(1,numbers),Prop_final,color = 'red',label = 'Mean_value')plt.legend()plt.show()print("The final intergal value is:{:.2f}".format(Prop[numbers-2]))int_Calcul(0.5,1,2,2,10000)

计算结果：

当a=0.5,b=1,c=2,H=2a=0.5,b=1,c=2,H=2a=0.5,b=1,c=2,H=2时，其最终的结果大概在12.0512.0512.05左右。

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