15分钟入门蒙特卡洛 Monte Carlo

来自 | 知乎作者 | 薛定豆

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20世纪40年代，蒙特卡洛（Monte Carlo, 位于摩纳哥的赌城，如上图）方法由John von Neumann，Stanislaw Ulam和 Nicholas Metropolis 在 Los Alamos National Lab (LANL) 曼哈顿计划中，为模拟中子扩散发展出的一种统计方法。正如名字反映出的，蒙特卡洛方法本质上是跟赌博一样具有随机特性。

一、估计圆周率的值

如果(x,y)是独立地从0到1之间均匀分布抽样出的一系列的数对number pair, 那么这些随机的位置坐标(x,y)落在1为半径圆弧内的概率应该是：四分之一圆的面积➗整个正方形的面积：

而因为(x,y) 是0到1的均匀分布，所以这个概率当抽样足够多的时候就等于红色的点数除以总共点数：

这样一来，只要采样足够多，就可以得到无限趋近于的值。这个例子很好的体现了Monte Carlo（MC)方法的精神：利用随机分布的特性，大数次抽样得到准确的估计。换句话说，就是我猜，我猜地又多又均匀就基本上成功了！

二、估计定积分的值

微积分里我们学到，定积分（也就是曲线下的面积）可以想象成很多等宽小矩形加起来的面积之和，如下图所示，

如果用蒙特卡洛的思维来做的话，可以从a到b的均匀分布产生一些列的x值：，只要抽样足够多，就可以估计出在这个区间内的平均值，记做这样一来，曲线下面积就等效成一个以这个平均值为高的矩形面积：

三、重要性抽样（Importance sampling）

其实，很多积分中还是有一些重要的区域的，为了使采样更有效率，一般我们可以采用重要性抽样来计算积分：

这里，是任意满足正定且归一化条件的概率分布，且是从这个分布采样的随机数。重要性抽样其实仅仅就是做了个恒等变形，把原来要均匀采样的概率分布（其实就是）替换成任意概率分布，并把要平均的函数除以这个分布。重要性抽样是统计和物理中常见的方法，可以很好的对重点区域采样而快速估计积分。

另一方面，重要性抽样有着很简单直接的并行化方案：对于多维定积分，从分布中采样的话，（这里为了符号简便，现在暂时将第次采样记做带括号的上标）

其实，统计力学里常见的积分就是物理量的系综平均

这里是正则系综分布函数，是正则配分函数。

四、Metropolis Monte Carlo算法 (Markov Chain Monte Carlo, MCMC)

那么，问题来了，怎么对任意分布采样？这里介绍Metropolis MC算法，也叫Metropolis-Hastings算法，它类似于随机瞎走（Random walk）的方式产生一列数，这些数的总体分布服从。这里，我们以平衡态统计力学中的最常见的Boltzmann分布为例说明。

玻尔兹曼分布说对于构型 ,它的概率应该是 ,这里是这个构型的能量。我们想要产生服从玻尔兹曼分布的一系列 ,可以设想如果我基于原来的一个构型怎么产生下一个构型呢？

当体系达到平衡时，体系在的概率不应该随时间改变，于是有

这里表示基于随机产生的转移概率（Transition probability），求和是对于所有可能的其他构型。从上面关系可以得到只要满足下面细致平衡（detailed balance)条件，就可以产生出服从玻尔兹曼分布的序列：

Metropolis选择的是下面方式选择转移概率（尽量最大化接受新构型）：

读者可以将上面两个式子相除，就可以看出在不管新构型的能量是更高还是更低，这个转移概率的比值都服从细致平衡条件，也就是最终产生的分布就会使玻尔兹曼分布了。

Metropolis算法——移动然后选择接受这个移动还是拒绝这个移动

从起始构型，计算能量；
随机移动一些构型坐标得到一个trial构型，并计算该构型的能量；
决定是否接受这个移动：
（1）如果 ,那么100%接受这个移动，正式的下一步构型就是了；
（2）如果 ,那么产生一个0到1之间的随机数R, 并跟转移概率比较，如果那就接受这个移动，否则就拒绝这个移动；
回到第二步，直到累积N个构型。

这一列构型被称为马尔科夫链(Markov Chain)，因为产生的新构型只跟当前构型有关，对前面的构型没有任何的记忆效应，所以这个方法又叫马尔科夫链蒙特卡洛（MCMC）。而且，从任何初始构型出发，最终都会达到平衡而且服从就是玻尔兹曼分布，即通过配比转移概率达到对某构型的采样概率为且不随“时间”改变。【注意：MC里序列是没有物理上时间先后关系的，所有说MC“时间序列”都是指随机产生的顺序。】

当然，这个例子只是一个统计力学里的概率分布函数，其实任何形式的分布都可以用MC产生，使得MC方法在统计里应用的不要太多。