矩阵分析系统学习笔记

本系列所有文章来自东北大学韩志涛老师的矩阵分析课程学习笔记，系列如下：
矩阵分析 (一) 线性空间和线性变换
矩阵分析 (二) 内积空间
矩阵分析 (三) 矩阵的标准形
矩阵分析 (四)向量和矩阵的范数
矩阵分析 (五) 矩阵的分解
矩阵分析 (六) 矩阵的函数
矩阵分析 (七) 矩阵特征值的估计
矩阵分析 (八) 矩阵的直积

文章目录

矩阵分析系统学习笔记
- 向量的范数
- - 范数的定义
  - 几种常见的范数
  - 生成范数
  - 范数的等价
- 矩阵的范数
- - 方阵的范数
  - 常用的范数
  - 与向量范数的相容性
  - 用矩阵范数来定义向量范数
  - 从属范数
  - 从属范数的计算
- 范数的应用举例

我们曾经用内积定义了向量空间中一个元素的长度，它是几何长度的推广，利用这个长度的概念我们可以讨论极限、逼近的问题。在分析解决这些问题时最重要的是利用了长度的基本性质、非负性、齐次性和三角表达式。

向量的范数

范数的定义

定义4.1：若对任意的x∈Cnx \in C^{n}x∈Cn都有一个实数∣∣x∣∣||x||∣∣x∣∣与之对应，且满足：

非负性：x≠0x \neq 0x=0时，∣∣x∣∣>0||x||>0∣∣x∣∣>0，当x=0x=0x=0时，∣∣x∣∣=0||x||=0∣∣x∣∣=0;
齐次性：对任意的k∈Ck \in Ck∈C，∣∣kx∣∣=∣k∣⋅∣∣x∣∣||kx||=|k| \cdot ||x||∣∣kx∣∣=∣k∣⋅∣∣x∣∣；
三角不等式：对任意的xxx，yyy ∈Cn\in C^{n}∈Cn都有：

∣∣x+y∣∣≤∣∣x∣∣+∣∣y∣∣||x+y|| \leq ||x|| + ||y|| ∣∣x+y∣∣≤∣∣x∣∣+∣∣y∣∣

则称∣∣x∣∣||x||∣∣x∣∣为CnC^{n}Cn上的向量范数，简称向量范数。

几种常见的范数

2范数

设：

x=(x1,x2,⋯,xn)T∈Cnx=(x_{1},x_{2}, \cdots, x_{n})^{T} \in C^{n} x=(x1,x2,⋯,xn)T∈Cn

规定：

∣∣x∣∣2=∑i=1n∣xi∣2||x||_{2} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}} ∣∣x∣∣2=i=1∑n∣xi∣2

很容易证明这是范数，叫作向量的2范数。2范数在酉变换下不变。

1范数

设：

x∈Cnx \in C^{n} x∈Cn

规定：

∣∣x∣∣1=∑i=1n∣xi∣||x||_{1} = \sum_{i=1}^{n}|x_{i}| ∣∣x∣∣1=i=1∑n∣xi∣

则∣∣x∣∣1||x||_{1}∣∣x∣∣1是范数，叫做向量的1范数。

向量的∞\infty∞范数

设：

x∈Cnx \in C^{n} x∈Cn

规定：

∣∣x∣∣∞=maxi∣xi∣||x||_{\infty} = max_{i}|x_{i}| ∣∣x∣∣∞=maxi∣xi∣

则∣∣x∣∣∞||x||_{\infty}∣∣x∣∣∞是范数，叫做向量的∞\infty∞范数。

向量的ppp范数

设x∈Rnx \in R^{n}x∈Rn，规定，

∣∣x∣∣p=(∑∣xi∣p)1p||x||_{p} = (\sum |x_{i}|^{p})^{\frac{1}{p}} ∣∣x∣∣p=(∑∣xi∣p)p1

则∣∣x∣∣p||x||_{p}∣∣x∣∣p也是范数，叫做向量的ppp范数。

其它：

规定：

∣∣f∣∣=max∣f(x)∣||f||=max|f(x)| ∣∣f∣∣=max∣f(x)∣

则∣∣f∣∣||f||∣∣f∣∣是函数的范数

在连续函数的空间中，规定：

∣∣f(x)∣∣=∫ab∣f(x)∣dx||f(x)|| = \int_{a}^{b} |f(x)|dx ∣∣f(x)∣∣=∫ab∣f(x)∣dx

则∣∣f∣∣||f||∣∣f∣∣也是范数。

生成范数

在一个向量空间之中可以构造无穷多种范数，前面所述只是最常用的范数。下面给出从已知范数构造新的向量范数的方法。

例4 设：

x=(x1,x2,⋯,xn)T∈Cnx=(x_{1},x_{2}, \cdots, x_{n})^{T} \in C^{n} x=(x1,x2,⋯,xn)T∈Cn

规定

∣∣x∣∣=a∣∣x∣∣1+b∣∣x∣∣2(a,b>0)||x||=a||x||_{1} + b||x||_{2} \ \ \ (a,b > 0) ∣∣x∣∣=a∣∣x∣∣1+b∣∣x∣∣2 (a,b>0)

则∣∣x∣∣||x||∣∣x∣∣是范数。

例5 设A∈Cnm×nA \in C_{n}^{m \times n}A∈Cnm×n，∣∣⋅∣∣a|| \cdot ||_{a}∣∣⋅∣∣a是CmC^{m}Cm上的一种范数，对于任意的x∈Cnx \in C^{n}x∈Cn，规定∣∣x∣∣=∣∣Ax∣∣a||x||=||Ax||_{a}∣∣x∣∣=∣∣Ax∣∣a，则∣∣x∣∣||x||∣∣x∣∣是CnC^{n}Cn上的范数。

由于矩阵AAA可以有无穷多，所以用这种方法可以构造无穷多种范数。

范数的等价

定义4.2：给定CnC^{n}Cn上的向量序列{xk}\{x^{k}\}{xk}，其中

xk=(x1k，x2k，⋯,xnk)(k=1,2,⋯)x^{k}=(x_{1}^{k}，x_{2}^{k}，\cdots ,x_{n}^{k}) \ \ \ (k=1,2,\cdots) xk=(x1k，x2k，⋯,xnk) (k=1,2,⋯)

如果：

lim∞xik=xilim_{\infty} x_{i}^{k} = x_{i} lim∞xik=xi

则称{xk}\{x^{k}\}{xk}收敛，记作：

limk→∞xk=xlim_{k \rightarrow \infty} x^{k} = x limk→∞xk=x

不收敛的序列叫作发散序列。

定理4.1 CnC^{n}Cn中的向量序列{xk}\{x^{k}\}{xk}收敛于xxx的充分必要条件是，对于CnC^{n}Cn上的范数∣∣⋅∣∣∞||\cdot||_{\infty}∣∣⋅∣∣∞，

lim∞∣∣xk−x∣∣∞=0lim_{\infty}||x^{k}-x||_{\infty} = 0 lim∞∣∣xk−x∣∣∞=0

收敛是向量序列的性质，这种性质不应该受到度量方式的影响，也就是一个向量序列在一种范数的意义下收敛，那么它在另一种范数的意义下也应该收敛。一个空间中的序列在一种范数下收敛，那么它在另一种范数下也是收敛的。

定义4.3 设∣∣x∣∣a||x||_{a}∣∣x∣∣a和∣∣x∣∣b||x||_{b}∣∣x∣∣b是CnC^{n}Cn上的两种向量范数，如果存在正数kkk和lll使得对于任意的xxx都有：

k∣∣x∣∣b≤∣∣x∣∣a≤l∣∣x∣∣bk||x||_{b} \leq ||x||_{a} \leq l ||x||_{b} k∣∣x∣∣b≤∣∣x∣∣a≤l∣∣x∣∣b

则称向量范数∣∣x∣∣a||x||_{a}∣∣x∣∣a和∣∣x∣∣b||x||_{b}∣∣x∣∣b等价。

定理4.2：CnC^{n}Cn空间上所有范数等价。

即若{xk}\{x^{k}\}{xk}在∣∣⋅∣∣∞||\cdot||_{\infty}∣∣⋅∣∣∞意义下收敛，则{xk}\{x^{k}\}{xk}在∣∣x∣∣||x||∣∣x∣∣意义下也收敛。向量序列的收敛不受范数选择影响。

同一个向量在不同的范数下长度一般不同，如：

x=(1,1,⋯,1)∈Cnx=(1,1,\cdots ,1) \in C^{n} x=(1,1,⋯,1)∈Cn

则：

∣∣x∣∣2=n，∣∣x∣∣1=n,∣∣x∣∣∞=1||x||_{2} = \sqrt{n}，||x||_{1} = n , \ ||x||_{\infty}=1 ∣∣x∣∣2=n，∣∣x∣∣1=n, ∣∣x∣∣∞=1

相差很大，但是在讨论收敛时，效果也是一样的，但是要注意，这里讨论的是有限维的空间，无穷维空间可以不等价。

矩阵的范数

由于一个m×nm \times nm×n矩阵可以看作m×nm \times nm×n维向量，因此可以按照定义向量范数的方法来定义矩阵范数，但是矩阵之间还有矩阵的乘法，在研究矩阵范数时应该给予考虑。

方阵的范数

定义4.4 ：若对于任意的A∈Cn×nA \in C^{n \times n}A∈Cn×n都有一个实数∣∣A∣∣||A||∣∣A∣∣与之对应，且满足：

非负性：A≠OA \neq OA=O，∣∣A∣∣>0||A|| >0∣∣A∣∣>0；A=OA=OA=O，∣∣A∣∣=0||A||=0∣∣A∣∣=0；
齐次性：对任意的k∈Ck \in Ck∈C:

∣∣kA∣∣=∣k∣∣∣A∣∣||kA||=|k|\ ||A|| ∣∣kA∣∣=∣k∣ ∣∣A∣∣

三角不等式：对任意的A，B∈Cn×nA，B \in C^{n \times n}A，B∈Cn×n，

∣∣A+B∣∣≤∣∣A∣∣+∣∣B∣∣||A+B|| \leq ||A|| +||B|| ∣∣A+B∣∣≤∣∣A∣∣+∣∣B∣∣

相容性：对任意的A，B∈Cn×nA，B \in C^{n \times n}A，B∈Cn×n都有∣∣AB∣∣≤∣∣A∣∣⋅∣∣B∣∣||AB|| \leq ||A|| \cdot ||B||∣∣AB∣∣≤∣∣A∣∣⋅∣∣B∣∣

则称∣∣A∣∣||A||∣∣A∣∣为Cn×nC^{n \times n}Cn×n上矩阵的范数，简称矩阵范数。

由于定义中的前三条与向量范数一致，因此矩阵范数有与向量范数有类似的性质，如：

∣∣−A∣∣=∣∣A∣∣，∣∣∣A∣∣−∣∣B∣∣∣≤∣∣A−B∣∣||-A|| = ||A||，| \ \ || A|| -||B|| \ \ | \leq ||A-B|| ∣∣−A∣∣=∣∣A∣∣，∣ ∣∣A∣∣−∣∣B∣∣ ∣≤∣∣A−B∣∣

以及Cn×nC^{n \times n}Cn×n上的两个矩阵范数等价。

常用的范数

矩阵m1m_{1}m1范数：

与∣∣x∣∣1||x||_{1}∣∣x∣∣1相仿，设A=(aij)n×n∈Cn×nA=(a_{ij})_{n \times n} \in C^{n \times n}A=(aij)n×n∈Cn×n，规定：

∣∣A∣∣m1=∑i,j∣aij∣||A||_{m_{1}} = \sum_{i,j} |a_{ij}| ∣∣A∣∣m1=i,j∑∣aij∣

则∣∣A∣∣m1||A||_{m_{1}}∣∣A∣∣m1是Cn×nC^{n \times n}Cn×n上的矩阵范数，称为m1m_{1}m1范数。

矩阵FFF范数：

与∣∣x∣∣2||x||_{2}∣∣x∣∣2相仿，对于A=(aij)n×nA=(a_{ij})_{n \times n}A=(aij)n×n，规定：

∣∣A∣∣F=∑i,j∣aij∣2=tr(AHA)||A||_{F} = \sqrt{\sum_{i,j}|a_{ij}|^{2}}=\sqrt{tr(A^{H}A)} ∣∣A∣∣F=i,j∑∣aij∣2=tr(AHA)

则∣∣A∣∣F||A||_{F}∣∣A∣∣F是Cn×nC^{n \times n}Cn×n上的一种矩阵范数，称为矩阵的Frobenius范数，简称FFF范数。

矩阵的∞\infty∞范数：

设A=(aij)n×nA=(a_{ij})_{n \times n}A=(aij)n×n，规定：

∣∣A∣∣m∞=n⋅maxi,j∣aij∣||A||_{m_{\infty}} = n \cdot max_{i,j} |a_{ij}| ∣∣A∣∣m∞=n⋅maxi,j∣aij∣

则∣∣A∣∣m∞||A||_{m_{\infty}}∣∣A∣∣m∞是Cn×nC^{n \times n}Cn×n上的矩阵范数。

与向量范数的相容性

定义4.5：设∣∣⋅∣∣m||\cdot||_{m}∣∣⋅∣∣m是Cn×nC^{n \times n}Cn×n上的矩阵范数，∣∣⋅∣∣v||\cdot||_{v}∣∣⋅∣∣v是CnC^{n}Cn上的向量范数，对任意的A∈Cn×nA \in C^{n\times n}A∈Cn×n，x∈Cnx \in C^{n}x∈Cn，都有：

∣∣AX∣∣v≤∣∣A∣∣m∣∣x∣∣v||AX||_{v} \leq ||A||_{m}||x||_{v} ∣∣AX∣∣v≤∣∣A∣∣m∣∣x∣∣v

则称矩阵范数∣∣⋅∣∣m||\cdot||_{m}∣∣⋅∣∣m与向量范数∣∣⋅∣∣v||\cdot||_{v}∣∣⋅∣∣v是相容的。

Cn×nC^{n \times n}Cn×n上的m1m_{1}m1范数与CnC^{n}Cn上的1范数相容。
Cn×nC^{n \times n}Cn×n上的FFF范数与CnC^{n}Cn上的2范数相容。

用矩阵范数来定义向量范数

设∣∣⋅∣∣||\cdot||∣∣⋅∣∣是Cn×nC^{n \times n}Cn×n上的一种矩阵范数，则在CnC^{n}Cn上可以定义一种向量范数。以二维空间为例，如设x∈C2x \in C^{2}x∈C2，取α=(α1，α2)T≠0\alpha=(\alpha_{1}，\alpha_{2})^{T} \neq 0α=(α1，α2)T=0 ,设∣∣⋅∣∣m1||\cdot||_{m_{1}}∣∣⋅∣∣m1是C2×2C^{2 \times 2}C2×2中的范数，任取：

A=(aij)2×2∈C2×2A=(a_{ij})_{2 \times 2} \in C^{2 \times 2} A=(aij)2×2∈C2×2

则：

∣∣A∣∣m1=∣a11∣+∣a12∣+∣a21∣+∣a22∣||A||_{m_{1}} = |a_{11}|+|a_{12}|+|a_{21}|+|a_{22}| ∣∣A∣∣m1=∣a11∣+∣a12∣+∣a21∣+∣a22∣

现在任取：

x∈C2，x=(x1,x2)Tx \in C^{2}，x =(x_{1},x_{2})^{T} x∈C2，x=(x1,x2)T

则：

xαH=(x1x2)(αˉ1αˉ2)=(x1αˉ1x1αˉ2x2αˉ1x2αˉ2)x \alpha^{H}=\left(\begin{array}{l} {x_{1}} \\ {x_{2}} \end{array}\right)\left(\bar{\alpha}_{1} \quad \bar{\alpha}_{2}\right)=\left(\begin{array}{ll} {x_{1} \bar{\alpha}_{1}} & {x_{1} \bar{\alpha}_{2}} \\ {x_{2} \bar{\alpha}_{1}} & {x_{2} \bar{\alpha}_{2}} \end{array}\right) xαH=(x1x2)(αˉ1αˉ2)=(x1αˉ1x2αˉ1x1αˉ2x2αˉ2)

是C2×2C^{2 \times 2}C2×2的矩阵。规定：

∥x∥=∥xαH∥m1=∣x1αˉ1∣+∣x1αˉ2∣+∣x2αˉ1∣+∣x2αˉ2∣\|x\|=\left\|x \alpha^{\mathrm{H}}\right\|_{m_{1}}=\left|x_{1} \bar{\alpha}_{1}\right|+\left|x_{1} \bar{\alpha}_{2}\right|+\left|x_{2} \bar{\alpha}_{1}\right|+\left|x_{2} \bar{\alpha}_{2}\right| ∥x∥=∥∥xαH∥∥m1=∣x1αˉ1∣+∣x1αˉ2∣+∣x2αˉ1∣+∣x2αˉ2∣

则在C2C^{2}C2中定义了一种运算。

如取：

α=(1,2)T，x=(1,1)T\alpha = (1,2)^{T}，x=(1,1)^{T} α=(1,2)T，x=(1,1)T

则：

∥x∥=∥xαH∥m1=∥(11)(1,2)∥m1=6\|x\|=\left\|x \alpha^{H}\right\|_{m_{1}}=\left\|\left(\begin{array}{l} {1} \\ {1} \end{array}\right)(1,2)\right\|_{m_{1}}=6 ∥x∥=∥∥xαH∥∥m1=∥∥∥∥(11)(1,2)∥∥∥∥m1=6

取：

α=(1,i)T,x=(1,1)\alpha = (1,i)^{T},x=(1,1) α=(1,i)T,x=(1,1)

则：

∣∣x∣∣=∣∣xαH∣∣m1=4||x||=||x \alpha^{H}||_{m_{1}}=4 ∣∣x∣∣=∣∣xαH∣∣m1=4

定理4.3：设∣∣⋅∣∣||\cdot||∣∣⋅∣∣是Cn×nC^{n \times n}Cn×n上的一种范数，则在CnC^{n}Cn上必存在与它相容的向量范数。

从属范数

前面介绍了由矩阵范数定义向量范数的方法，接下来将要介绍由向量范数来定义矩阵范数的方法。

我们知道，单位矩阵在矩阵的乘法中的作用类似于1在乘法中的作用。但是对于已经知道的矩阵范数，如m1m_{1}m1，FFF，m∞m_{\infty}m∞范数，nnn阶单位矩阵EEE的范数。

∣∣E∣∣m1=n，∣∣E∣∣F=n，∣∣E∣∣m∞=n||E||_{m_{1}} = n，||E||_{F} = \sqrt{n}，||E||_{m \infty} = n ∣∣E∣∣m1=n，∣∣E∣∣F=n，∣∣E∣∣m∞=n

能否构造出使得∣∣E∣∣=1||E||=1∣∣E∣∣=1的范数呢？

定理4.4：已知CnC^{n}Cn上的向量范数∣∣⋅∣∣v||\cdot||_{v}∣∣⋅∣∣v，对于任意的A∈Cn×nA \in C^{n \times n}A∈Cn×n，规定：

∣∣A∣∣=maxx≠0∣∣Ax∣∣v∣∣x∣∣v||A|| = max_{x \neq 0} \frac{||Ax||_{v}}{||x||_{v}} ∣∣A∣∣=maxx=0∣∣x∣∣v∣∣Ax∣∣v

则∣∣A∣∣||A||∣∣A∣∣是Cn×nC^{n \times n}Cn×n上的矩阵范数，称为由向量范数∣∣⋅∣∣v||\cdot||_{v}∣∣⋅∣∣v导出的矩阵范数，简称导出范数或者从属范数。

从属范数的计算

从属范数的计算是求多元函数的最大值，计算并不容易，我们只就向量的1，2， ∞\infty∞导出的矩阵范数分别是∣∣A∣∣1||A||_{1}∣∣A∣∣1，∣∣A∣∣2||A||_{2}∣∣A∣∣2，∣∣A∣∣∞||A||_{\infty}∣∣A∣∣∞，则：

∣∣A∣∣1=maxj∑i=1n∣aij∣||A||_{1} = max_{j} \sum_{i=1}^{n} |a_{ij}|∣∣A∣∣1=maxj∑i=1n∣aij∣。
∣∣A∣∣∞=maxi∑j=1n∣aij∣||A||_{\infty} = max_{i} \sum_{j=1}^{n}|a_{ij}|∣∣A∣∣∞=maxi∑j=1n∣aij∣。
∣∣A∣∣2=λ1||A||_{2} = \sqrt{\lambda_{1}}∣∣A∣∣2=λ1，λ1\lambda_{1}λ1为AHAA^{H}AAHA的最大特征值。

∣∣A∣∣1||A||_{1}∣∣A∣∣1是矩阵AAA的元素取模，然后把每一列元素加起来，取这些列和的最大值。而∣∣A∣∣∞||A||_{\infty}∣∣A∣∣∞是把每行的模加起来，然后取最大值。

范数的应用举例

定义4.6：设A∞Cn×nA \infty C^{n \times n}A∞Cn×n，λ1,λ2,⋯,λn\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}λ1,λ2,⋯,λn是AAA的nnn个特征值，称ρ(A)=maxi∣λi∣\rho(A) = max_{i}|\lambda_{i}|ρ(A)=maxi∣λi∣为AAA的谱半径，即AAA的谱半径是AAA的特征值模的最大值。
定理4.6：设A∈Cn×nA \in C^{n \times n}A∈Cn×n，则对Cn×nC^{n \times n}Cn×n上的任何一个矩阵范数∣∣⋅∣∣m||\cdot||_{m}∣∣⋅∣∣m，都有：

ρ(A)≤∣∣A∣∣m\rho(A) \leq ||A||_{m} ρ(A)≤∣∣A∣∣m

定理4.7：设A∈Cn×nA \in C^{n \times n}A∈Cn×n，任取一个正数，都可以找到一个矩阵范数∣∣⋅∣∣||\cdot||∣∣⋅∣∣，使得：

∣∣A∣∣≤ρ(A)+ε||A|| \leq \rho(A) + \varepsilon ∣∣A∣∣≤ρ(A)+ε

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