向量、矩阵范数 是数学中矩阵论、线性代数、泛函分析等领域中常见的基本概念，是将一定的矩阵空间建立为赋范向量空间时为矩阵装备的范数。应用中常将有限维赋范向量空间之间的映射以矩阵的形式表现，这时映射空间上装备的范数也可以通过矩阵范数的形式表达。

矩阵范数却不存在公认唯一的度量方式01向量的范数设||·||是向量空间上的实值函数，且满足条件1、非负性：对任何向量x，||x||>=0，且||x||=0当且仅当x=02、齐次性：对任何向量x和实数a，||ax||=|a|*||x||3、三角不等式：对任何向量x、y ，满足||x+y|| <= ||x|| + ||y||

则称||·||为n维向量空间的范数，||x||为向量x的范数

常用范数

记x = (x1,x2,…,xn)，常用的向量范数有：1、向量的1-范数：||x|| = |x1| + |x2| + … + |xn|2、向量的2-范数：||x|| = sqrt( x1^2 + x2^2 + … + xn^2 )3、向量的无穷范数：||x|| = max|xi|

范数等价与向量收敛

对于n维向量空间的任何两种范数 ||·||a ||·||b ，存在正常数m,M，使得m*||·||a <= ||·|| <= M*||·||b对于向量序列，如果满足Lim ||xk – x || = 0 ，则称向量序列{xk}收敛到向量x，记作xk—>x02矩阵的范数若||·||满足如下条件1、非负性：对任何矩阵A，||A||>=0，且||A||=0当且仅当A=02、齐次性：对任何矩阵A和实数a，||aA||=|a|*||A||3、三角不等式：对任何矩阵A、B ，满足||A+B|| <= ||A|| + ||B||4、三角不等式：对任何矩阵A、B ，满足||AB|| <= ||A||*||B||

常用矩阵范数

矩阵的1-范数：║A║1 = max{∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| } (列和范数，A每一列元素绝对值之和的最大值)　(其中∑|ai1|第一列元素绝对值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+...+|an1|,其余类似)矩阵的2-范数：║A║2 = A的最大特征值开方 = ( max{ λi(A^H*A) } ) ^{1/2} (欧几里德范数,谱范数,即A^H*A特征值λi中最大者λ1的平方根，其中A^H为A的转置共轭矩阵)矩阵的无穷范数：║A║∞ = max{ ∑|a1j|, ∑|a2j| ,...,∑|amj| } (行和范数，A每一行元素绝对值之和的最大值)　(其中为∑|a1j| 第一行元素绝对值的和，其余类似)矩阵的F范数：||A||F = sqrt(Σaij^2)03谱半径

定义：A是n阶方阵，λi是其特征值，i=1,2,…,n。则称特征值的绝对值的最大值为A的谱半径，记为ρ(A)。　注意要将谱半径与谱范数(2-范数)区别开来，谱范数是指A的最大奇异值，即A^H*A最大特征值的算术平方根。谱半径是矩阵的函数，但不是矩阵范数。

定理：谱半径不大于矩阵范数，即ρ(A)≤║A║。因为任一特征对λ,x,Ax=λx，可得Ax=λx。两边取范数并利用相容性即得结果。定理2：对于任何方阵A以及任意正数e，存在一种矩阵范数使得║A║推荐阅读：

数值分析导论

数值分析篇——解线性方程组的直接方法(上)

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  参考书籍：《C++数据结构》、《算法导论》

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