动态规划之01背包问题讲解

给大家附上一个题目吧，便于理解

ctest有n个苹果，要将它放入容量为v的背包。给出第i个苹果的大小和价钱，求出能放入背包的苹果的总价钱最大值。

输入：每组测试数据第一行为2个正整数，分别代表苹果的个数n和背包的容量v

接下来的n行，每行2个正整数，用空格隔开，分别代表苹果的大小c和价钱w

01背包其实就是遍历所有可能情况然后取最优的结果和搜索差不多不过比搜索快

0 1 背包的方程为dp[i]=max(dp[i-c[j]])+w[j],dp[i])

i：表示当前的背包容量

j：是苹果的序号

dp[i]：是容量为i的背包能放的最大价值

c[j]：序号为j的苹果的大小

w[j]：序号为j的苹果的价值

这个方程翻译成白话文就是容量为i的背包的最大价值=(当前背包容量-序号为j的苹果的大小)的最大价值+序号为j的苹果的价值和容量为i的背包的当前价值之间的最大值

说着比较绕口。慢慢理解

说白了，其实就是取与不取的问题，如果取了那么取后的价值要大于我没有取之前的价值否则我就不要你（因为同样大小的背包我要装价值更大的啊）

对着这道题举个例子吧

5 10

1 9

4 4

2 6

5 5

10 8

你能根据自己的想法填下表吗看结果是否和我的一样

这个结果其实就是根据0-1背包的思想得到的，如果你能填证明你已经入门了

我首先附上0-1背包的代码

[cpp] view plain copy print ?

for(int i=0;i<n;i++)
{
for(int j=v;j>=0;j--)
{
if(j>=c[i])
dp[j]=max(dp[j-c[i]]+w[i],dp[j]);
}
}

你肯定有几个问题？

1.为什么外层循环是苹果的数目而不是背包的容量

答：因为每个苹果只能选择一次如果背包容量在外

2.外循环是对苹果的遍历那么内循环为什么是v-》0而不是从0-》v

这个问题我也迷惑了好久我们仔细看看动态方程dp[i]=max(dp[i-c[j]])+w[j],dp[i]) 我们首先假设有一个苹果大小为1 价值为9

那么dp[1]=max(dp[1-1]+9,dp[1])=9 是正常的 dp[2]=max(dp[2-1]+9,dp[2])=18..dp[3]=27,dp[4]=36等等发现问题了吧

所以内循环从0-》v是错误的如果从v-》0就行了因为在每个苹果循环的时候我们要保证当前已经遍历的背包对我未遍历的背包没有影响

看完了这些分析上面的截图吧

首先是对苹果大小为1 价值为9 背包容量为10.....1 最大价值都为9 背包容量为0 最大价值为0

苹果大小为4 价值为4 背包容量为10.....5的价值变为13 为什么呢还是动态规划方程dp[i]=max(dp[i-c[j]])+w[j],dp[i]) 分析一个为5的吧 dp[5]=max(d[4]+4,dp[5])=9+4=13 而在背包容量为4的时候我们发现价值还是9 没有变化因为这两个苹果大小4+1=5>4

由于我们对每个苹果遍历后都是当前苹果个数的最优结果所以当我们遍历完最后一个苹果那么结果也就是最优化的

就分析这么多吧

这道题的传送门和AC代码

[cpp] view plain copy print ?

#include <stdio.h>
#include <string.h>
int main()
{
int n,v,max,c[1005],w[1005],dp[1005];
while(scanf("%d %d",&n,&v)!=EOF)
{
if(n==0&&v==0)
break;
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(int i=0;i<n;i++)
scanf("%d %d",&c[i],&w[i]);
max=0;
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=v;j>=c[i];j--)
{
// dp[j]=dp[j];
if(dp[j]<dp[j-c[i]]+w[i])
dp[j]=dp[j-c[i]]+w[i];
if(max<dp[j])
max=dp[j];
}
printf("%d\n",max);
}
return 0;
}

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