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简介

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支持向量机（Support Vector Machine, SVM）对监督学习下二分类问题提供了一个绝妙的解决方案。通过对偶函数和核函数求解，将适用范围从二维线性推广到多维非线性模型，使用相关方法变形，也可用于多分类问题和回归问题。

支持向量机SVM是方法统称，如果应用于分类Classification，也叫支持向量分类SVC；如果应用于回归Regression，也叫支持向量回归SVR。

原理

硬间隔

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首先考虑如何评估分类模型的好坏？

在上图中，红点和蓝叉分别表示两类线性可分的数据（取自鸢尾花数据集）。有黑色、橙色和绿色三个线性模型，都可以将数据分为两类。

直观来说，一般我们会认为黑色表示的分类模型会更好。在SVM中，是因为黑色的间隔最大。所谓的「间隔」，直白的说，就是向垂直方向两边平移，直到遇到数据点，所形成的间隔。

间隔示意图如下所示：

而SVM中认为最佳的模型，就是可以取到最大间隔 d d d的中间那条直线，也就是到两边各是 d 2 \frac{d}{2} 2d​，这样就在最大间隔中若干平行线里，唯一确定了最优的线。

如此一来，由于黑色的间隔最大，所以认为优于橙色和绿色所表示的模型。

支持向量

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可以看出，在确定最大间隔时，只与少量样本数据有关，平移过程中遇到数据点即停止。我们称这部分样本数据为支持向量，也就是支持向量机名字的由来。这也是支持向量机的一大优势——适用于小样本情况。

以上是二维特征便于可视化的情况。对于二维，我们可以用线来划分；对于三维，我们可以用平面来划分；对于多维，我们称之为超平面，使用超平面来划分。
用如下方程表示超平面：
w T x + b = 0 \bold w^T\bold x +b =0 wTx+b=0
w \bold w w和 x \bold x x是向量，分别表示权重和特征。

对于二分类任务中，当y=+1是表示正例，y=-1表示负例。也就是y=+1时， w T x + b ≥ 0 \bold w^T\bold x +b \geq 0 wTx+b≥0，令：
{ w T x i + b ≥ + 1 , y i = + 1 w T x i + b ≤ − 1 , y i = − 1 \begin{cases}\bold w^T\bold x_i+b \geq +1,& y_i=+1\\ \bold w^T\bold x_i+b \leq -1,& y_i=-1\end{cases} {wTxi​+b≥+1,wTxi​+b≤−1,​yi​=+1yi​=−1​

也就是说，上图中三条平行线的表达式分别是 w T x + b = + 1 \bold w^T\bold x+b=+1 wTx+b=+1、 w T x + b = 0 \bold w^T\bold x+b=0 wTx+b=0、 w T x + b = − 1 \bold w^T\bold x+b=-1 wTx+b=−1。

再由点到平面距离公式 r = ∣ w T x + b ∣ ∣ ∣ w ∣ ∣ r=\frac{|\bold w^T \bold x+b|}{||\bold w||} r=∣∣w∣∣∣wTx+b∣​，得到间隔（两个异类支持向量到超平面距离）定义：
γ = 2 ∣ ∣ w ∣ ∣ \gamma=\frac{2}{||\bold w||} γ=∣∣w∣∣2​

为了求最大间隔，需要分式中分母最小，即最小化 ∣ ∣ w ∣ ∣ − 1 \bold ||w||^{-1} ∣∣w∣∣−1，等价于最小化 1 2 ∣ ∣ w ∣ ∣ 2 \frac{1}{2}||\bold w||^2 21​∣∣w∣∣2。

如此一来，对于线性模型，我们求解如下表达式即可求得最大间隔，也称支持向量机的基本型：
m i n w , b 1 2 ∣ ∣ w ∣ ∣ 2 s . t . y i ( w T x i + b ) ≥ 1 \mathop{min}\limits_{\bold w,b}\quad\frac{1}{2}||\bold w||^2 \\ s.t.\quad y_i(\bold w^T\bold x_i+b)\geq1 w,bmin​21​∣∣w∣∣2s.t.yi​(wTxi​+b)≥1

属于二次规划问题，即目标函数二次项，限制条件一次项。使用拉格朗日乘子法可求得其对偶问题，使用对偶问题优化目标函数和限制条件，方便进行求解。

对偶问题

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对偶问题（dual problem）简单来说就是同一问题的不同角度解法。比如时间=路程÷速度，那么求最短的时间等价于求最大的速度。

对偶问题定义 L ( w , α , β ) = f ( w ) + α T g ( w ) + β T ( w ) L(w,\alpha,\beta)=f(w)+\alpha^Tg(w)+\beta^T(w) L(w,α,β)=f(w)+αTg(w)+βT(w)
若 w ∗ w^* w∗是原问题的解， α ∗ \alpha^* α∗和 β ∗ \beta^* β∗是对偶问题的解，则有 f ( w ∗ ) ≥ θ ( α ∗ , β ∗ ) f(w^*)\geq\theta(\alpha^*,\beta^*) f(w∗)≥θ(α∗,β∗)

对约束添加拉格朗日乘子 α i ≥ 0 \alpha_i\geq0 αi​≥0， α i = ( α 1 , α 2 , … , α m ) \alpha_i=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m) αi​=(α1​,α2​,…,αm​)
定义凸二次规划拉格朗日函数： L ( w , b , α ) = 1 2 ∣ ∣ w ∣ ∣ 2 + ∑ i = 1 m α i ( 1 − y i ( w T x i + b ) ) L(\bold w,b,\alpha)=\frac{1}{2}||\bold w||^2+\sum_{i=1}^m\alpha_i(1-y_i(\bold w^T\bold x_i+b)) L(w,b,α)=21​∣∣w∣∣2+i=1∑m​αi​(1−yi​(wTxi​+b))

定义原问题与对偶问题的间距 G G G， G = f ( w ∗ ) − θ ( α ∗ , β ∗ ) ≥ 0 G=f(w^*)-\theta(\alpha^*,\beta^*)\geq0 G=f(w∗)−θ(α∗,β∗)≥0
强对偶定理：若 f ( w ) f(w) f(w)为凸函数，且 g ( w ) = A w + b g(w)=Aw+b g(w)=Aw+b， h ( w ) = C w + d h(w)=Cw+d h(w)=Cw+d，则此优化问题的原问题与对偶问题的间距为0。

通过强对偶性，转换为：
m a x α m i n w , b L ( w , b , α ) \mathop{max}\limits_{\alpha} \mathop{min}\limits_{\bold w,b}L(\bold w,b,\alpha) αmax​w,bmin​L(w,b,α)

对 w \bold w w和 b b b求偏导，即令 ∂ L ∂ w = 0 \frac{\partial L}{\partial w}=0 ∂w∂L​=0和 ∂ L ∂ b = 0 \frac{\partial L}{\partial b}=0 ∂b∂L​=0，有 ∑ i = 1 m α i y i x i = w ∑ i = 1 m α i y i = 0 \sum_{i=1}^m\alpha_iy_i\bold x_i=\bold w\\ \sum_{i=1}^m\alpha_iy_i=0 i=1∑m​αi​yi​xi​=wi=1∑m​αi​yi​=0

代回 L ( w , b , α ) L(\bold w,b,\alpha) L(w,b,α)中，一通消消乐后得到 L ( w , b , α ) = ∑ i = 1 m α i − 1 2 ∑ i = 1 m ∑ j = 1 m α i α j y i y j x i T x j L(\bold w,b,\alpha)=\sum_{i=1}^m\alpha_i-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^m\alpha_i\alpha_jy_iy_j\bold x^T_i\bold x_j L(w,b,α)=i=1∑m​αi​−21​i=1∑m​j=1∑m​αi​αj​yi​yj​xiT​xj​

也就是将求最小的 w \bold w w和 b b b转换为求最大的 α \alpha α，即对偶问题：KaTeX parse error: No such environment: align* at position 148: ….t.\quad \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲*̲}̲\begin{split} \…

同时满足约束和KKT条件：
s . t . { α i ≥ 0 y i f ( x i ) − 1 ≥ 0 α i ( y i f ( x i ) − 1 ) = 0 s.t.\quad \begin{cases}\bold \alpha_i\geq0\\ y_if(\bold x_i)-1\geq0\\\alpha_i(y_if(\bold x_i)-1)=0\end{cases} s.t.⎩⎪⎨⎪⎧​αi​≥0yi​f(xi​)−1≥0αi​(yi​f(xi​)−1)=0​

KKT条件： ∀ i = 1 ∼ k , α i ∗ = 0 或 g i ∗ ( w ∗ ) = 0 \forall i=1\sim k,\alpha_i^*=0或g_i^*(w^*)=0 ∀i=1∼k,αi∗​=0或gi∗​(w∗)=0

也就是说：
若 α i = 0 \alpha_i=0 αi​=0，则全部乘起来为0， f ( x ) f(x) f(x)该项累加0，即该样本无影响。
若 α i > 0 \alpha_i>0 αi​>0，由KKT条件则 y i f ( x i ) = 1 y_if(\bold x_i)=1 yi​f(xi​)=1，该样本位于最大间隔边界上，是一个支持向量。
再次说明SVM仅与支持向量有关，与大部分训练样本无关，适用于小样本数据集。

软间隔

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前面假设的都是硬间隔的情况，也就是所有样本严格满足约束，不存在任何错误样本。而软间隔则是允许一定误差，不是非要全部样本都满足约束，允许一些样本“出错”。图摘自网络。

引用松弛变量 ξ i ≥ 0 \xi_i\geq0 ξi​≥0，添加一个正则化项，将SVM的基本型改写为：
m i n w , b , ξ i 1 2 ∣ ∣ w ∣ ∣ 2 + C ∑ i = 1 m ξ i s . t . y i ( w T x i + b ) ≥ 1 − ξ i \mathop{min}\limits_{\bold w,b,\xi_i}\quad\frac{1}{2}||\bold w||^2+C\sum_{i=1}^m\xi_i\\ s.t.\quad y_i(\bold w^T\bold x_i+b)\geq1-\xi_i w,b,ξi​min​21​∣∣w∣∣2+Ci=1∑m​ξi​s.t.yi​(wTxi​+b)≥1−ξi​

C C C是常数，也就是说原来需要大于等于1才能判为正例，现在只需大于等于 ( 1 − ξ i ) (1-\xi_i) (1−ξi​)即可。但 ξ i \xi_i ξi​也不能太大，否则限制条件太容易成立，根本起不到限制作用，导致分类效果差。

同样的，将基本型转为对偶问题，添加拉格朗日乘子，并将偏导为0代回原式，得：
m a x α ∑ i = 1 m α i − 1 2 ∑ i = 1 m ∑ j = 1 m α i α j y i y j x i T x j s . t . { 0 ≤ α i ≤ C ∑ i = 1 m α i y i = 0 \mathop{max}\limits_\alpha\quad\sum_{i=1}^m\alpha_i-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^m\alpha_i\alpha_jy_iy_j\bold x_i^T\bold x_j\\s.t.\quad \begin{cases}0\leq\alpha_i\leq C\\ \sum_{i=1}^m \alpha_i y_i=0\end{cases} αmax​i=1∑m​αi​−21​i=1∑m​j=1∑m​αi​αj​yi​yj​xiT​xj​s.t.{0≤αi​≤C∑i=1m​αi​yi​=0​

其实，与硬间隔的区别就只是限制条件不同了，硬间隔 0 ≤ α i 0\leq\alpha_i 0≤αi​即可，软间隔 0 ≤ α i ≤ C 0\leq\alpha_i\leq C 0≤αi​≤C。

兼容软间隔的情况，使模型具有一定容错能力。

核函数

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我们再考虑下非线性模型，因为线性模型可以看成非线性模型的一种情况，得到非线性模型的表达式后，可以统一求解。

线性可分，是可以用一条直线进行区分；线性不可分，就是不能用一条直线区分，需要用曲线区分。而非线性模型，就是对于线性不可分的情况，如异或问题（图摘自网络）：

对于这样的问题，我们可以将原本特征空间映射到一个更高维度的空间，使得在这个高纬度空间中存在超平面将样本分离，即是线性可分的。也就是升维，这个维度可以是无穷维的，一定可以使其线性可分的，只是我们难以想象。
f ( x ) = w T ϕ ( x ) + b f(\bold x)=\bold w^T \phi(\bold x)+b f(x)=wTϕ(x)+b

升维后：
m a x α ∑ i = 1 m α i − 1 2 ∑ i = 1 m ∑ j = 1 m α i α j y i y j ϕ ( x i ) T ϕ ( x j ) \mathop{max}\limits_\alpha\quad\sum_{i=1}^m\alpha_i-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^m\alpha_i\alpha_jy_iy_j\phi(\bold x_i)^T\phi(\bold x_j) αmax​i=1∑m​αi​−21​i=1∑m​j=1∑m​αi​αj​yi​yj​ϕ(xi​)Tϕ(xj​)

但是新的问题是，我们不知道这个无限维映射 ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x)的显示表达，即无法直接计算内积 ϕ ( x i ) T ϕ ( x j ) \phi(\bold x_i)^T\phi(\bold x_j) ϕ(xi​)Tϕ(xj​)，此时需要用到核函数（Kernel Function）：
K ( x i , x j ) = ϕ ( x i ) T ϕ ( x j ) \Kappa(\bold x_i,\bold x_j)=\phi(\bold x_i)^T\phi(x_j) K(xi​,xj​)=ϕ(xi​)Tϕ(xj​)

通过核函数在原始样本空间计算的结果，等于升维后特征空间的内积，代回原表达式，得：
m a x α ∑ i = 1 m α i − 1 2 ∑ i = 1 m ∑ j = 1 m α i α j y i y j K ( x i , x j ) s . t . { 0 ≤ α i ≤ C ∑ i = 1 m α i y i = 0 \mathop{max}\limits_\alpha\quad\sum_{i=1}^m\alpha_i-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^m\alpha_i\alpha_jy_iy_j\Kappa(\bold x_i,\bold x_j)\\s.t.\quad \begin{cases}0\leq\alpha_i\leq C\\ \sum_{i=1}^m \alpha_i y_i=0\end{cases} αmax​i=1∑m​αi​−21​i=1∑m​j=1∑m​αi​αj​yi​yj​K(xi​,xj​)s.t.{0≤αi​≤C∑i=1m​αi​yi​=0​

即
{ f ( x ) = w T ϕ ( x ) + b = ∑ i = 1 m α i y i ϕ ( x i ) + b = ∑ i = 1 m α i y i K ( x i , x j ) + b \begin{cases} f(x)&=\bold w^T\phi(\bold x)+b\\ &= \sum_{i=1}^m\alpha_iy_i\phi(\bold x_i)+b\\ &=\sum_{i=1}^m\alpha_iy_i\Kappa(\bold x_i,\bold x_j)+b \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​f(x)​=wTϕ(x)+b=∑i=1m​αi​yi​ϕ(xi​)+b=∑i=1m​αi​yi​K(xi​,xj​)+b​

常用核函数：

名称	表达式
线性核	κ ( x i , x j ) = e x p ( x i T x j ) \kappa(\bold x_i,\bold x_j)=exp(\bold x_i^T\bold x_j) κ(xi​,xj​)=exp(xiT​xj​)
多项式核	κ ( x i , x j ) = e x p ( x i T x j ) d \kappa(\bold x_i,\bold x_j)=exp(\bold x_i^T\bold x_j)^d κ(xi​,xj​)=exp(xiT​xj​)d
高斯核	κ ( x i , x j ) = e x p ( ∣ ∣ x i − x j ∣ ∣ 2 2 σ 2 ) \kappa(\bold x_i,\bold x_j)=exp(\frac{||\bold x_i-\bold x_j||^2}{2\sigma^2}) κ(xi​,xj​)=exp(2σ2∣∣xi​−xj​∣∣2​)

多项式核中 d d d表示多项式次数，可以调参。
高斯核也需要调参 σ > 0 \sigma>0 σ>0，表示高斯核的带宽。

核函数就是为了兼容非线性模型，升维后并求解。

SMO算法

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求解：
m a x α ∑ i = 1 m α i − 1 2 ∑ i = 1 m ∑ j = 1 m α i α j y i y j K ( x i , x j ) s . t . { 0 ≤ α i ≤ C ∑ i = 1 m α i y i = 0 \mathop{max}\limits_\alpha\quad\sum_{i=1}^m\alpha_i-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^m\alpha_i\alpha_jy_iy_jK(\bold x_i,\bold x_j)\\s.t.\quad \begin{cases} 0\leq\alpha_i\leq C \\ \sum_{i=1}^m \alpha_i y_i=0 \end{cases} αmax​i=1∑m​αi​−21​i=1∑m​j=1∑m​αi​αj​yi​yj​K(xi​,xj​)s.t.{0≤αi​≤C∑i=1m​αi​yi​=0​

用SMO（Sequential Minimal Optimization）算法求解这个二次规划问题。

思路是先固定 α i \alpha_i αi​之外的所有参数，然后求 α i \alpha_i αi​上的极值。由于存在约束 ∑ i = 1 m α i y i = 0 \sum_{i=1}^m\alpha_iy_i=0 ∑i=1m​αi​yi​=0，固定其他变量之后，便可求出 α i \alpha_i αi​。于是每次选择两个变量 α i \alpha_i αi​和 α j \alpha_j αj​并固定其他参数，直至收敛。

仅考虑 α i \alpha_i αi​和 α j \alpha_j αj​（ α i ≥ 0 , α j ≥ 0 \alpha_i\geq0,\alpha_j\geq0 αi​≥0,αj​≥0）：
α i y i + α j y j = c \alpha_iy_i+\alpha_jy_j=c αi​yi​+αj​yj​=c

c c c是使 ∑ i = 1 m \sum_{i=1}^m ∑i=1m​成立的常数， c = − ∑ k ≠ i , j α k y k c=-\sum_{k\neq i,j}\alpha_ky_k c=−∑k​=i,j​αk​yk​
如此便可计算 α i \alpha_i αi​和 α j \alpha_j αj​。

再代入任何一个支持向量 y s f ( x s ) = 1 y_sf(\bold x_s)=1 ys​f(xs​)=1，便可求得 b b b：
y s ( ∑ i ∈ S α i y i x i T x s + b ) = 1 y_s(\sum_{i\in S}\alpha_iy_i\bold x_i^T\bold x_s+b)=1 ys​(i∈S∑​αi​yi​xiT​xs​+b)=1

也可以带入全部的支持向量，然后取平均值。

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小结

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1. 训练流程
   输入样本{ x i , y i \bold x_i, y_i xi​,yi​}，i:1~m
   最大化间隔：
   m a x α ∑ i = 1 m α i − 1 2 ∑ i = 1 m ∑ j = 1 m α i α j y i y j K ( x i , x j ) s . t . { 0 ≤ α i ≤ C ∑ i = 1 m α i y i = 0 \mathop{max}\limits_\alpha\quad\sum_{i=1}^m\alpha_i-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^m\alpha_i\alpha_jy_iy_jK(\bold x_i,\bold x_j)\\s.t.\quad \begin{cases}0\leq\alpha_i\leq C\\ \sum_{i=1}^m \alpha_i y_i=0\end{cases} αmax​i=1∑m​αi​−21​i=1∑m​j=1∑m​αi​αj​yi​yj​K(xi​,xj​)s.t.{0≤αi​≤C∑i=1m​αi​yi​=0​
   在[0,C]中，找一个 α i \alpha_i αi​，算b：
   b = 1 − y i ∑ j = 1 n α j y j K ( x i , x j ) y i b=\frac{1-y_i\sum_{j=1}^n\alpha_jy_jK(\bold x_i,\bold x_j)}{y_i} b=yi​1−yi​∑j=1n​αj​yj​K(xi​,xj​)​

2. 测试流程
   输入测试样本 x \bold x x
   若 ∑ i = 1 n α i y i K ( x i , x ) + b ≥ 0 \sum_{i=1}^n\alpha_iy_iK(\bold x_i,\bold x)+b\geq0 ∑i=1n​αi​yi​K(xi​,x)+b≥0，则y=+1
   若 ∑ i = 1 n α i y i K ( x i , x ) + b < 0 \sum_{i=1}^n\alpha_iy_iK(\bold x_i,\bold x)+b<0 ∑i=1n​αi​yi​K(xi​,x)+b<0，则y=-1

多分类问题

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如上SVM可以解决二分类问题，但是并不能直接解决多分类问题，不过也是可以在逻辑上进行求解，但是开销较大，需要构建多个SVM。

如三分类问题，有A、B、C三类，此时可以构建3个SVM。
比如：
SVM1：A vs B
SVM2：A vs C
SVM3：B vs C

如果SVM1=+1且SVM2=+1，SVM3无所谓，则分类为A。
如果SVM1=-1且SVM2=-1且SVM3=+1，则分类为B。
如果SVM1=-1且SVM2=-1且SVM3=-1，则分类为B。

再比如合并数据集：
SVM1：A vs BC
SVM2：B vs AC
SVM3：C vs AB

如果SVM1=+1或（SVM2=-1且SVM3=-1），则分类为A。
如果SVM2=+1或（SVM1=-1且SVM3=-1），则分类为B。
如果SVM3=+1或（SVM1=-1且SVM2=-1），则分类为C。

但如果出现SVM1=SVM2=SVM3=+1的情况，虽然逻辑上都是+1，没有满足条件的解，但其实我们是算出了具体的值 w T x + b \bold w^T\bold x+b wTx+b，其大于等于+1，则置y=+1。此时我们可以用这个具体的值来判断，而不是用y，比较SVM123算出来的具体值 w T x + b \bold w^T\bold x+b wTx+b，判为值最大的SVM对应类。

N分类以此类推，需要构建N个支持向量机。

回归问题

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原理与求解步骤与分类时基本一致，在分类中添加了一个松弛变量，允许一定误差，满足软间隔。同样的在回归中，也添加了一个偏差 ϵ \epsilon ϵ，构建了一个宽度为 2 ϵ 2\epsilon 2ϵ的误差间隔带，只要落入此间隔带内，则认为是被预测正确的。也就是两个松弛变量 ξ \xi ξ和 ξ ^ \hat{\xi} ξ^​,，分别表示两侧的松弛程度。图摘自网络。

即：
m i n w , b , ξ , ξ ^ 1 2 ∣ ∣ w ∣ ∣ 2 + C ∑ i = 1 m ( ξ i + ξ i ^ ) s . t . { f ( x i ) − y i ≤ ϵ + ξ i y i − f ( x i ) ≤ ϵ + ξ i ^ ξ i ≥ 0 , ξ i ^ ≥ 0 \mathop{min}\limits_{\bold w,b,\xi,\hat{\xi}}\quad \frac{1}{2}||\bold w||^2+C\sum_{i=1}^m(\xi_i+\hat{\xi_i})\\\\s.t.\quad \begin{cases}f(\bold x_i)-y_i\leq\epsilon+\xi_i\\ y_i-f(\bold x_i)\leq\epsilon+\hat{\xi_i}\\\xi_i\geq0,\hat{\xi_i}\geq0\end{cases} w,b,ξ,ξ^​min​21​∣∣w∣∣2+Ci=1∑m​(ξi​+ξi​^​)s.t.⎩⎪⎨⎪⎧​f(xi​)−yi​≤ϵ+ξi​yi​−f(xi​)≤ϵ+ξi​^​ξi​≥0,ξi​^​≥0​

同样转换对偶问题，映射高维度并用核函数求解，得到回归方程：
f ( x ) = ∑ i = 1 m ( α i ^ − α i ) K ( x , x i ) + b f(\bold x)=\sum^m_{i=1}(\hat{\alpha_i}-\alpha_i)\Kappa(\bold x,\bold x_i)+b f(x)=i=1∑m​(αi​^​−αi​)K(x,xi​)+b

应用示例

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sklearn对支持向量机封装了很多模型，相关函数调用可以查询文档。

例1. 线性核

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from sklearn import datasets
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.svm import LinearSVC
from matplotlib.colors import ListedColormap
from sklearn.metrics import classification_reportdef plot_boundary(model, axis):x0, x1 = np.meshgrid(np.linspace(axis[0], axis[1], int((axis[1] - axis[0]) * 100)).reshape(-1, 1),np.linspace(axis[2], axis[3], int((axis[3] - axis[2]) * 100)).reshape(-1, 1),)X_new = np.c_[x0.ravel(), x1.ravel()]  # 变成二维矩阵y_predict = model.predict(X_new)  # 二维点集才可以用来预测zz = y_predict.reshape(x0.shape)custom_cmap = ListedColormap(['#EF9A9A', 'black', '#90CAF9'])plt.contourf(x0, x1, zz, cmap=custom_cmap)w = model.coef_[0]b = model.intercept_[0]index_x = np.linspace(axis[0], axis[1], 100)y_up = (1 - w[0] * index_x - b) / w[1]  # w1x1+w2x2+b=-1x_index_up = index_x[(y_up >= axis[2]) & (y_up <= axis[3])]y_up = y_up[(y_up >= axis[2]) & (y_up <= axis[3])]y_down = (-1 - w[0] * index_x - b) / w[1]  # w1x1+w2x2+b=1x_index_down = index_x[(y_down >= axis[2]) & (y_down <= axis[3])]y_down = y_down[(y_down >= axis[2]) & (y_down <= axis[3])]y_origin = (- w[0] * index_x - b) / w[1]  # w1x1+w2x2+b=0x_index_origin = index_x[(y_origin >= axis[2]) & (y_origin <= axis[3])]y_origin = y_origin[(y_origin >= axis[2]) & (y_origin <= axis[3])]plt.plot(x_index_origin, y_origin, color="black")# plt.plot(x_index_up, y_up, color="black")# plt.plot(x_index_down, y_down, color="black")# plt.plot([2.5,2.5],[0,1.9],color="orange")# plt.plot([0.9, 5.2], [0.75, 0.75], color="green")iris = datasets.load_iris()  # 鸢尾花数据集
x = iris.data[:100, [2, 3]]  # 取前100行（二分类，取第2、3列特征
y = iris.target[0:100]x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(x, y)  # 划分训练集测试集linearsvc = LinearSVC(C=1e9)  # 创建模型
linearsvc.fit(x_train, y_train)  # 训练
y_pred = linearsvc.predict(x_test)  # 测试
print('w：', linearsvc.coef_)
print('b：', linearsvc.intercept_)
print(classification_report(y_test, y_pred))  # 评估
# 可视化
plot_boundary(linearsvc, axis=[0.9, 5.2, 0, 1.9])
for i in range(50):plt.scatter(x[i][0], x[i][1], color="red", marker='o')
for i in range(50, 100):plt.scatter(x[i][0], x[i][1], color="blue", marker='x')plt.show()

例2. 多项式核

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from sklearn import datasets
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.svm import SVC
from matplotlib.colors import ListedColormap
from sklearn.metrics import classification_reportdef plot_boundary(model, axis):x0, x1 = np.meshgrid(np.linspace(axis[0], axis[1], int((axis[1] - axis[0]) * 100)).reshape(-1, 1),np.linspace(axis[2], axis[3], int((axis[3] - axis[2]) * 100)).reshape(-1, 1),)X_new = np.c_[x0.ravel(), x1.ravel()]  # 变成二维矩阵y_predict = model.predict(X_new)  # 二维点集才可以用来预测zz = y_predict.reshape(x0.shape)custom_cmap = ListedColormap(['#EF9A9A', 'black', '#90CAF9'])plt.contourf(x0, x1, zz, cmap=custom_cmap)moons = datasets.make_moons(noise=0.1, random_state=20221017)  # 创建数据
x = moons[0]
y = moons[1]
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(x, y)  # 划分训练集测试集
poly_svc = SVC(kernel='poly', degree=5)  # 多项式核
poly_svc.fit(x, y)  # 训练
y_pred = poly_svc.predict(x_test)  # 测试
print(classification_report(y_test, y_pred))  # 评估
plot_boundary(poly_svc, axis=[-1.2, 2.2, -0.75, 1.25])
plt.scatter(x[y == 0, 0], x[y == 0, 1], color='red')
plt.scatter(x[y == 1, 0], x[y == 1, 1], color='blue')
plt.show()

例3. 高斯核

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from sklearn import datasets
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.svm import SVC
from matplotlib.colors import ListedColormap
from sklearn.metrics import classification_reportdef plot_boundary(model, axis):x0, x1 = np.meshgrid(np.linspace(axis[0], axis[1], int((axis[1] - axis[0]) * 100)).reshape(-1, 1),np.linspace(axis[2], axis[3], int((axis[3] - axis[2]) * 100)).reshape(-1, 1),)X_new = np.c_[x0.ravel(), x1.ravel()]  # 变成二维矩阵y_predict = model.predict(X_new)  # 二维点集才可以用来预测zz = y_predict.reshape(x0.shape)custom_cmap = ListedColormap(['#EF9A9A', 'black', '#90CAF9'])plt.contourf(x0, x1, zz, cmap=custom_cmap)moons = datasets.make_moons(noise=0.1, random_state=20221017)  # 创建数据
x = moons[0]
y = moons[1]
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(x, y)  # 划分训练集测试集
poly_svc = SVC(kernel='rbf')  # 高斯核
poly_svc.fit(x, y)  # 训练
y_pred = poly_svc.predict(x_test)  # 测试
print(classification_report(y_test, y_pred))  # 评估
plot_boundary(poly_svc, axis=[-1.2, 2.2, -0.75, 1.25])
plt.scatter(x[y == 0, 0], x[y == 0, 1], color='red')
plt.scatter(x[y == 1, 0], x[y == 1, 1], color='blue')
plt.show()

例4. 回归

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from sklearn import datasets
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.svm import SVC, SVR
from matplotlib.colors import ListedColormap
from sklearn.metrics import classification_reportdef plot_boundary(model, axis):x0, x1 = np.meshgrid(np.linspace(axis[0], axis[1], int((axis[1] - axis[0]) * 100)).reshape(-1, 1),np.linspace(axis[2], axis[3], int((axis[3] - axis[2]) * 100)).reshape(-1, 1),)X_new = np.c_[x0.ravel(), x1.ravel()]  # 变成二维矩阵y_predict = model.predict(X_new)  # 二维点集才可以用来预测zz = y_predict.reshape(x0.shape)custom_cmap = ListedColormap(['#EF9A9A', 'black', '#90CAF9'])plt.contourf(x0, x1, zz, cmap=custom_cmap)X = np.linspace(0, 5, 100)  # 生成数据
y = X ** 2 + 5 + np.random.randn(100)
x = X.reshape(-1, 1)
linear_svr = SVR(kernel="linear")  # 线性核
poly_svr = SVR(kernel="poly", degree=2)  # 多项式核
rbf_svr = SVR(kernel="rbf")  # 高斯核
# 训练
linear_svr.fit(x, y)
poly_svr.fit(x, y)
rbf_svr.fit(x, y)
# 测试
linear_pred = linear_svr.predict(x)
poly_pred = poly_svr.predict(x)
rbf_pred = rbf_svr.predict(x)
# 可视化
plt.plot(x, linear_pred, label='linear', color='red')
plt.plot(x, poly_pred, label='poly', color='orange')
plt.plot(x, rbf_pred, label='rbf', color='green')
plt.scatter(X, y, color='lightblue')
plt.legend()
plt.show()

参考文献：《机器学习》 周志华

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