1 . 前缀和：

前缀和是一个速度极快的算法，复杂度只有O(1)，是在输入的过程中将加和运算完成，计算第i到第j个元素时，只需要将sum[j]-sum[i-1]（如果下标从1开始）。

//假设输入n个元素：
int sum[100] = {0};
for(int i=1;i<=n;i++)
{cin>>a[i];sum[i]+=a[i];
}
//设ans为第i个到第j个的和
int ans;
ans = sum[j] - sum[i-1];

例题：

给定一个长度为 n的数组 a1,a2,…,a。现在，要将该数组从中间截断，得到三个非空子数组。要求，三个子数组内各元素之和都相等。请问，共有多少种不同的截断方法？输入格式
第一行包含整数 n。
第二行包含 n个整数 a1,a2,…,an。输出格式
输出一个整数，表示截断方法数量。数据范围
前六个测试点满足 1≤n≤10。
所有测试点满足 1≤n≤105，−10000≤ai≤10000。输入样例1：
4
1 2 3 3
输出样例1：
1
输入样例2：
5
1 2 3 4 5
输出样例2：
0
输入样例3：
2
0 0
输出样例3：
0

这道题思路比较简单，首先判断是否能被3整除。然后从一端先找到sum/3的点，再从另一端寻找sum/3的点。求和的过程中可以应用前缀和。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>using namespace std;typedef long long LL;
const int N = 100010;int n;
int s[N];int main(){cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>s[i];s[i] += s[i-1];}if(s[n]%3){cout<<0;return 0;}LL res = 0;for(int i=3,cnt = 0;i<=n;i++){if(s[i - 2] == s[n]/3) cnt++;if(s[n] - s[i-1] == s[n]/3) res+=cnt; //先统计再结尾是sum/3之前有几个sum/3已经出现，代码更简洁}cout<<res;return 0;
}

2.差分：

差分可以从整体的角度观察变化次数，适用于结果与次数相关联的题目。

差分的实现是将所加区间的左端点++，右端点后--，这样在区间数字的值会++，通过这个区间后，数字的值又会减减。

例题：

给定一个空数组 V和一个整数数组 a1,a2,…,an。现在要对数组 V进行 n次操作。
第 i次操作的具体流程如下：从数组 V尾部插入整数 0。
将位于数组 V末尾的 ai个元素都变为 1（已经是 1的不予理会）。
注意：
ai可能为 0，即不做任何改变。
ai可能大于目前数组 V所包含的元素个数，此时视为将数组内所有元素变为 1。
请你输出所有操作完成后的数组 V。输入格式
第一行包含整数 T，表示共有 T组测试数据。
每组数据第一行包含整数 n。
第二行包含 n个整数 a1,a2,…,an。输出格式
每组数据输出一行结果，表示所有操作完成后的数组 V，数组内元素之间用空格隔开。数据范围
1≤T≤20000,
1≤n≤2×105,
0≤ai≤n,
保证一个测试点内所有 n的和不超过 2×105。输入样例：
3
6
0 3 0 0 1 3
10
0 0 0 1 0 5 0 0 0 2
3
0 0 0
输出样例：
1 1 0 1 1 1
0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
0 0 0

当一个位置改变奇数次时为他本身，改变偶数次时为1。

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<algorithm>using namespace std;const int N = 200100;int n;
int b[N];int main()
{int T;cin>>T;while(T--){cin>>n;memset(b,0,(n+1)*4);for(int i=1;i<=n;i++){int a;cin>>a;int l = max(1,i-a+1),r = i;b[l]++,b[r+1]--;}for(int i=1;i<=n;i++){b[i]+=b[i-1];cout<<!!b[i]<<" ";   //此处两次取反是为了防止b[i]的值大于1}cout<<endl;}return 0;
}

3.二分查找：

当数据具有范围性或者单调性时，可以使用二分查找，复杂度Olog(n),使用二分查找时，一定要注意左右边界变化的问题。如果有一点点失误，就会陷入死循环。

例题:

农夫约翰出门沿着马路散步，但是他现在发现自己可能迷路了！沿路有一排共 N个农场。
不幸的是农场并没有编号，这使得约翰难以分辨他在这条路上所处的位置。
然而，每个农场都沿路设有一个彩色的邮箱，所以约翰希望能够通过查看最近的几个邮箱的颜色来唯一确定他所在的位置。
每个邮箱的颜色用 A..Z之间的一个字母来指定，所以沿着道路的 N个邮箱的序列可以用一个长为 N的由字母 A..Z组成的字符串来表示。
某些邮箱可能会有相同的颜色。
约翰想要知道最小的 K的值，使得他查看任意连续 K个邮箱序列，他都可以唯一确定这一序列在道路上的位置。例如，假设沿路的邮箱序列为 ABCDABC 。约翰不能令 K=3，因为如果他看到了 ABC，则沿路有两个这一连续颜色序列可能所在的位置。
最小可行的 K的值为 K=4，因为如果他查看任意连续4 个邮箱，那么可得到的连续颜色序列可以唯一确定他在道路上的位置。输入格式
输入的第一行包含 N，第二行包含一个由 N个字符组成的字符串，每个字符均在 A..Z之内。输出格式
输出一行，包含一个整数，为可以解决农夫约翰的问题的最小 K值。数据范围
1≤N≤100输入样例：
7
ABCDABC
输出样例：
4

此题寻找的是最小不重复字符串，如果相连的n个字符串都不能重复，那么>n时，一定找不到重复字符串。寻找字符串时使用substr函数和哈希表查找。二分时候要格外小心。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<unordered_set>using namespace std;int n;
string str;bool check(int mid){unordered_set<string> hash;for(int i=0 ;i+mid-1<str.size();i++){auto s = str.substr(i,mid);   //取相连的字符串if(hash.count(s)) return false;  //寻找字符串是否存在hash.insert(s);}return true;
}int main(){cin>>n;cin>>str;int l = 1;int r = n;while(l<r){int mid = l + r >>1;  //移位进行简单运算if(check(mid)) r = mid;  else l = mid +1;    //如果不在范围内，就讲左值跳出范围}cout<<r<<endl;return 0;
}

4 . 双指针：

不断查询连续3个相连x的情况即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int main() {int n;string s;cin >> n >> s;int ret = 0, cnt = 0;for(int i = 0; i < n; i++) {if(s[i] == 'x') {cnt++;if(cnt == 3) {ret++;cnt--;    //如果满3个就将减掉一个}} else {cnt = 0;     //如果连不上3个，就归零}}cout << ret << endl;return 0;
}

5 . 递推：

递推具有一定的灵活性，主要可以用于按某种规律依次操作的题型。

例题：

此题可以将可行的尝试列举出来，观察最后一个是否符合要求，就可以判断是否成立。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>using namespace std;const int N = 100010;int n;void update(char&c)
{if(c == 'W') c = 'B';else c = 'W';
}bool check(string s,char c)
{vector <int> res;for(int i=0;i<n-1;i++){if(s[i]!=c){update(s[i]);update(s[i+1]);res.push_back(i);   //用于储存数据，将已经走过的点储存在vector中}}if(s.back()!= s[0]) return false;cout<<res.size()<<endl;for(auto x:res) cout<<x+1<<' ';if(res.size()) cout<<endl;return true;
}int main()
{int T;cin>>T;while(T--){string s;cin>>n>>s;if(!check(s,'W') && !check(s,'B')) puts("-1");  //判断两种方法可行性}
}