导语

emmm这次讨论的话题如题，哎向其上次的作业怎么都还没写完，不管啦反正作业什么的都是浮云~

平均值定理（解析函数版）

要说这个定理呢，其实有的书上也叫他平均值公式，也有叫它平均值性质，Whatever，我们这里就叫他平均值定理好了。

并且还有两个不同版本的平均值定理（但他们其实说的都是同一件事），然后这里我们介绍的以解析函数来介绍平均值定理。

我们先给出书上的原始定义，然后再把数学语言转化为通俗易懂的话或者是图像：

若f(z)f(z)在|ζ−z0|<R|\zeta-z_0|内解析，在|ζ−z0|≤R|\zeta-z_0|\leq R上连续，则

f(z0)=12π∫2π0f(z0+Reiφ)dφ

f(z_0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(z_0+Re^{i\varphi})d\varphi

如果你是第一次看见这个公式的话，哎有爆粗的冲动也是可以理解，接下来我们开始对这个则后面的结论进行分析。

首先是f(z0)f(z_0)我们应该如何理解？
对于其中的z0z_0我们是可以理解为一个(x,y)(x,y)的，因为z0=x+iyz_0=x+iy嘛。那么ff这个东西相当于输入了一个(x,,y)(x,,y)然后返回了一个(x′,y′)(x',y')[因为返回出来的东西也可能是一个复数]，但是为了理解更形象，我们假设，f(z0)f(z_0)是可以被画到一个叫做ff的坐标上的。

为什么要这样假设呢？因为这样一来，我们就建立了一个酱紫的标架(暂且忽略掉图中的曲线)：

那么，我们继续来看公式右边的函数ff中的z0+Reiφz_0+Re^{i\varphi}，这又是个啥？

在积分符号中φ\varphi的取值时从0到2π2\pi的，所以这个其实表示的是以z0z_0为圆心，以R为半径的一个圆周上的所有点。

该函数将这些点从我们的x−yx-y平面映射到ff轴上去（再次说明其实ff轴也是复数的，即也是一个复平面，这里是为了简化。。。）

好的，那么如果大家能够接受我个人做的这个不成熟的假设的话，那么应该能够理解为什么会有刚才那张图了吧。即不同位置的圆周上的点对应不同高度的ff坐标：

然后将这些高度进行积分之后得到的即为侧面的面积，除以2π2\pi得到的东西就是平均每单位弧长所对应的面积，并认为这个面积就是该圆心z0z_0所对应的函数值f(z0)f(z_0)

所以说，其实，还不算太抽象吧，这就是平均值公式。

最大模原理

就是对于在区域D解析的函数ff来说，除非ff是常数，否则ff的最值不可能在区域D的内部取到。

为啥呢，因为你想，假设有一个z0z_0在区域D的内部取到了最大值，我们知道解析函数是满足平均值原理的呀，现在我们在z0z_0的周围找到一个圆周（这个圆周当然得属于D），那么我们就会发现这个时候就可以通过这个圆周上面的值来计算f(z0)f(z_0)了，但是我们不要忘记f(z0)f(z_0)是这圆周的高度的算术平均，所以说圆周上的最大值一定会大于f(z0)f(z_0)，而圆周上的最小值一定会小于f(z0)f(z_0)，所以f(z0)f(z_0)绝对不可能是最值。就产生矛盾了，所以说就有了最大模原理。

复分析理论---如何形象理解平均值公式和最大模原理相关推荐

各种说明方法的答题格式_初中语文阅读答题公式语文阅读理解万能公式大全...
很多人想知道初中语文阅读理解有哪些答题公式,语文阅读理解的万能公式有哪些呢?下面小编为大家介绍一下! 初中语文阅读理解答题公式大全 (一)某句话在文中的作用: 1.文首:开篇点题;渲染气氛(散文),埋 ...
二叉树的左视图和右视图形象理解（附C++代码）
定义二叉树的左(右)视图即:以从上到下的顺序,输出一颗二叉树每一层最左(右)端的节点,结果就是其左(右)视图. 步骤采用递归的方式,将二叉树的所有节点连带其深度信息存入动态数组(若对二叉树的递归遍 ...
形象理解线性代数（三）——列空间、零空间（核）、值域、特征值（特征向量）、矩阵与空间变换、矩阵的秩
这里,我们还是要以形象理解线性代数(一)--什么是线性变换?为基础.矩阵对向量的作用,可以理解为线性变换,同时也可以理解为空间的变换,即(m*n)的矩阵会把一个向量从m维空间变换到n维空间. 一.矩 ...
自动控制原理之如何理解梅森公式（内附MATLAB求解传递函数程序）
文章目录一道题总结与归纳最近在复习自动控制原理,想看看自控的题能不能用matlab来简单地做出来,想到了一个理解梅森公式的角度,记录如下: 一道题首先我们来看到一道题: 这题看上去挺简单的,但 ...
独立和不相关区别及形象理解
引独立与不相关是一个随机过程中随机变量可能具有的两个特性. 这里先给出两者关系定义: 若独立则必然不相关,即有独立=>不相关(条件符号不可反) 若不相关则不一定独立形象理解理解: 对于二维 ...
如何形象理解多方安全计算、去中心化？
一.多方安全计算的含义 "多方安全计算"与"中心化"是相互对立的两个概念,"中心"是指所有的信息资源都掌握于某一方所有,它可以悄无声息地进行 ...
怎样理解条件概率公式
这是一个很经典的公式,全概率公式,贝叶斯公式都会由它而来,公式如下: P(A|B)=P(AB)/P(B) 这个公式的含义是在条件B下产生A的概率可以由A和B的联合概念除以B的概率得到,怎样来的呢?其实 ...
如何理解傅里叶变换公式？
本文是前面一篇文章的补充,从数学分析的角度来理解傅里叶变换. 问题为什么按照傅里叶公式做就可以将信号从时域转变到频域? 为什么式中的e^(-jwt)部分会出现一个负号?有什么特定的意义? j如何理解 ...
中心极限定理的形象理解
中心极限定理是统计学中的一个重要定理,本文的目的是形象地讲解中心极限定理,不列举公式. 本篇博客是基于猴子在知乎上的回答,进行的整理.非常感谢猴子的讲解. 目录 1 什么是中心极限定理 1.1 简单定 ...

复分析理论---如何形象理解平均值公式和最大模原理

导语

平均值定理（解析函数版）

最大模原理

复分析理论---如何形象理解平均值公式和最大模原理相关推荐

最新文章

热门文章