自动控制原理之如何理解梅森公式（内附MATLAB求解传递函数程序）

2024-04-16 10:57:47

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一道题
总结与归纳

最近在复习自动控制原理，想看看自控的题能不能用matlab来简单地做出来，想到了一个理解梅森公式的角度，记录如下：

一道题

首先我们来看到一道题：
这题看上去挺简单的，但是梅森公式太不难记忆并且难以用计算机实现了，那么我们从根本出发来探究一下梅森公式是如何推导的，首先由信号流图写出相应的代数方程式：

传递函数G(s)=C(s)/R(s)=X5/R(s)，为了便于求解，整理得：
全部写成矩阵的方式即：X=QX+PR，我们只需要解出X=PR/(I-Q)，X(5)/R就是我们要的传递函数

p.s. 为了编写代码的方便，我们完全可以直接求P/(I-Q)

根据这个算法，写出的MATLAB程序如下：

syms G1 G2 G3 G4 H1 H2 H3;
Q(1,5)=-H1; %字符矩阵的第一个赋值必须是字符
Q(2,1)=G1;Q(2,4)=-H2;
Q(3,2)=G2;Q(3,5)=-H3;
Q(4,3)=G3;
Q(5,4)=G4;
P=[1;0;0;0;0];
I=eye(size(Q));
W=(I-Q)\P;
W5=W(5);

结果如下：

可以看到和用梅森公式的结果一模一样

总结与归纳

设信号流图中有Ki个输入节点，K个中间和输出节点，它们分别代表输入信号ui（i=1,2,…Ki）和系统状态xj（j=1,2,…K）。信号流图代表它们之间的联结关系。用拉普拉斯算子表示后，任意xj可以表为ui和xj的线性组合：

用矩阵表示可写成：
其中：X = [x1;x2;…xk] 为K维状态列向量, U=[u1;u2;…;uki] 为Ki维输入列向量,Q为K×K维的连接矩阵，P为K×Ki维的输入矩阵。
由此可得：
因此，系统的传递函数矩阵为 P/(I-Q)，这个简明的公式就等价于梅森公式。只要写出P和Q，任何复杂系统的传递矩阵都可用这个简单的式子，通过MATLAB求出，若代入的是符号，得出的是公式，代入的是LTI数据，得出的是系统相应的LTI传递矩阵的值。

为了更加深入地理解P，来看一道有两个输入的题：
求下图的传递函数

答：

matlab程序：

clear;
syms G1 G2 H1;
Q(2,1)=G1;
Q(3,2)=G2;
Q(1,3)=-H1;
P=[1 0;0 1;0 0];
I=eye(size(Q));
W=(I-Q)\P;
W3=W(3);

运行结果

参考资料：
1.http://see.xidian.edu.cn/faculty/hchchen/html/paper/100.html
2.胡寿松《自动控制原理》

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