【笔记整理】通信原理第九章复习—

9.4 线性分组码

9.4.1 基本概念

代数码：利用代数关系式产生监督位的编码
线性分组码：代数码的一种，其监督位和信息位的关系由线性代数方程决定
汉明码：一种能够纠正一个错码的线性分组码（纠1位错，至少3个码元）
校正子：在偶数监督码中，计算an−1⊕an−2⊕...⊕a0=0a_{n-1} \oplus a_{n-2} \oplus ... \oplus a_0=0an−1⊕an−2⊕...⊕a0=0，实际上就是计算S=an−1⊕an−2⊕...⊕a0S=a_{n-1} \oplus a_{n-2} \oplus ... \oplus a_0S=an−1⊕an−2⊕...⊕a0，并检验SSS是否等于0。SSS称为校正子
监督关系式：S=an−1⊕an−2⊕...⊕a0S=a_{n-1} \oplus a_{n-2} \oplus ... \oplus a_0S=an−1⊕an−2⊕...⊕a0称为监督关系式

9.4.2 纠错基本原理

S=an−1⊕an−2⊕...⊕a0S=a_{n-1} \oplus a_{n-2} \oplus ... \oplus a_0S=an−1⊕an−2⊕...⊕a0中。SSS只有两种取值：表示有错和无错，而不能进一步指明错码的位置
若此码组长度增加一位，则能增加一个监督关系式。这样就能得到两个校正子
两个校正子的可能取值有4种组合，即00，01，10，11，能表示4种不同的信息
若用其中一种组合表示无错码，则其他3种组合可以用于指明一位错码的3种不同位置，从而可以有纠错能力

一般而言，若有rrr个监督关系式，则rrr个校正子可以指明一个错码的(2r−1)(2^r-1)(2r−1)个不同位置

当校正子可以指明的错码位数目等于或大于码组长度nnn时，才能够纠正码组中任何一个位置上的错码，即要求
2r−1≥n2^r-1 \geq n2r−1≥n或2r≥k+r+12^r \geq k+r+12r≥k+r+1

汉明码：一种能够纠正一个错码的线性分组码

【填空题】要求设计一个能够纠正1个错码的分组码(n,k)(n,k)(n,k)，设给定的码组中有4个信息位，即k=4k=4k=4，求nnn的值
解：由2r−1≥n2^r-1 \geq n2r−1≥n或2r≥r+k+12^r \geq r+k+12r≥r+k+1知，这时要求监督位数r≥3r \geq 3r≥3
若取r=3r=3r=3，则n=k+r=7n=k+r=7n=k+r=7
现在用a6a5a4a3a2a1a0a_6a_5a_4a_3a_2a_1a_0a6a5a4a3a2a1a0表示这7个码元，用S1S2S3S_1S_2S_3S1S2S3表示校正子，则这3个校正子恰好能够指明23−1=72^3-1=723−1=7个错码的位置
若规定校正子和错码位置的关系如下表：

S1S2S3S_1S_2S_3S1S2S3	错码位置	S1S2S3S_1S_2S_3S1S2S3	错码位置
001	a0a_0a0	101	a4a_4a4
010	a1a_1a1	110	a5a_5a5
100	a2a_2a2	111	a6a_6a6
011	a3a_3a3	000	无错码

则仅当发生一个错码，且位置在a6a_6a6、a5a_5a5、a4a_4a4或a2a_2a2时，校正子S1S_1S1的值才等于1；否则S1S_1S1的值为零。这就移位着a6a5a4a2a_6a_5a_4a_2a6a5a4a2四个码元构成偶数监督关系：
S1=a6⊕a5⊕a4⊕a2S_1=a_6 \oplus a_5 \oplus a_4 \oplus a_2S1=a6⊕a5⊕a4⊕a2
S2=a6⊕a5⊕a3⊕a1S_2=a_6 \oplus a_5 \oplus a_3 \oplus a_1S2=a6⊕a5⊕a3⊕a1
S3=a6⊕a4⊕a3⊕a0S_3=a_6 \oplus a_4 \oplus a_3 \oplus a_0S3=a6⊕a4⊕a3⊕a0
{a2=a6⊕a5⊕a4a1=a6⊕a5⊕a3a0=a6⊕a4⊕a3\begin{cases} a_2=a_6 \oplus a_5 \oplus a_4\\ a_1=a_6 \oplus a_5 \oplus a_3\\ a_0=a_6 \oplus a_4 \oplus a_3 \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧a2=a6⊕a5⊕a4a1=a6⊕a5⊕a3a0=a6⊕a4⊕a3

【掌握判断】若接受码组为0000011，则按上三式计算得到：S1=0,S2=1,S3=1S_1=0,S_2=1,S_3=1S1=0,S2=1,S3=1。这样，由上表可知，错码位置在a3→a_3 \toa3→ 0001011

汉明码是(7,4)(7,4)(7,4)码，其最小码距d0=3d_0=3d0=3
则由d0≥e+1d_0 \geq e+1d0≥e+1和d0≥2t+1d_0 \geq 2t+1d0≥2t+1可知，此码能够检测2个错码，或纠正1个错码

【填空题】(15,11)(15,11)(15,11)汉明码中的r=4r=4r=4，最小码距d0=4d_0=4d0=4

汉明码的码率
kn=2r−r−12r−1\frac{k}{n}=\frac{2^r-r-1}{2^r-1}nk=2r−12r−r−1
- 当rrr很大时，码率趋近1——汉明码是一种高效编码

【结论】汉明码是一种可纠一位错的线性分组码，其码参数为n=2r−1,k=n−r=2r−1−r,r≥3,d0=3n=2^r-1,k=n-r=2^r-1-r,r \geq3,d_0=3n=2r−1,k=n−r=2r−1−r,r≥3,d0=3

完备码
- 通常若要设计能纠正ttt个错码的分组码(n,k)(n,k)(n,k)，则当信息位kkk，码长nnn和监督位rrr的选取应满足：
  2r−1≥Cn1+Cn2+...+Cnt=∑i=1tCnt2^r-1 \geq C_n^1+C_n^2+...+C_n^t=\sum_{i=1}^{t}C_n^t2r−1≥Cn1+Cn2+...+Cnt=i=1∑tCnt
  不等式左边是rrr位监督位所能显示的错码类型数，右边是所有可能发生的错码总数。取等式时，所设计的码称为完备码。汉明码是完备码

【典型题】将(7,4)(7,4)(7,4)汉明码的编码结果按行写入一个10行7列的存储器阵列，每行一个码字，共计10个码字，再按列读出后通过信道传输。若传输这10个码字时，信道中发生了连续15个错误，请问接受端解交织并译码后，能译对几个码字？
分析：本题按行输入，按列输出，连续15个错误，则应该是15=10+515=10+515=10+5，其中有5行有2个错码，其他5行为1个错码。由于(7,4)(7,4)(7,4)汉明码是可以纠1个错，因此可以纠正发生1个错码的5行，也就是能译对5个码字

分组码的一般原理

线性分组码是监督位和信息位满足一组线性方程的码，如前述(7,4)(7,4)(7,4)码满足如下关系：
{a6⊕a5⊕a4⊕a2=0a6⊕a5⊕a3⊕a1=0a6⊕a4⊕a3⊕a0=0\begin{cases} a_6 \oplus a_5 \oplus a_4 \oplus a_2=0\\ a_6 \oplus a_5 \oplus a_3 \oplus a_1=0\\ a_6 \oplus a_4 \oplus a_3 \oplus a_0=0 \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧a6⊕a5⊕a4⊕a2=0a6⊕a5⊕a3⊕a1=0a6⊕a4⊕a3⊕a0=0
可以改写为
{1⋅a6+1⋅a5+1⋅a4+0⋅a3+1⋅a2+0⋅a1+0⋅a0=01⋅a6+1⋅a5+0⋅a4+1⋅a3+0⋅a2+1⋅a1+0⋅a0=01⋅a6+0⋅a5+1⋅a4+1⋅a3+0⋅a2+0⋅a1+1⋅a0=0\begin{cases} 1 \cdot a_6 + 1 \cdot a_5 +1 \cdot a_4 + 0 \cdot a_3 +1 \cdot a_2 + 0 \cdot a_1 +0 \cdot a_0=0\\ 1 \cdot a_6 + 1 \cdot a_5 +0 \cdot a_4 + 1 \cdot a_3 +0 \cdot a_2 + 1 \cdot a_1+0 \cdot a_0=0\\ 1 \cdot a_6 + 0 \cdot a_5 +1 \cdot a_4 + 1 \cdot a_3 +0 \cdot a_2 + 0 \cdot a_1+1 \cdot a_0=0\\ \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧1⋅a6+1⋅a5+1⋅a4+0⋅a3+1⋅a2+0⋅a1+0⋅a0=01⋅a6+1⋅a5+0⋅a4+1⋅a3+0⋅a2+1⋅a1+0⋅a0=01⋅a6+0⋅a5+1⋅a4+1⋅a3+0⋅a2+0⋅a1+1⋅a0=0
可以写成矩阵形式：
[111010011010101011001][a6a5a4a3a2a1a0]=[000]\begin{bmatrix} 1&1&1&0&1&0&0 \\ 1&1&0&1&0&1&0 \\ 1&0&1&1&0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_6\\a_5\\a_4\\a_3\\a_2\\a_1\\a_0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\\0\\0 \end{bmatrix}⎣⎡111110101011100010001⎦⎤⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡a6a5a4a3a2a1a0⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎡000⎦⎤
上式可简写为HAT=0THA^T=0^THAT=0T或AHT=0AH^T=0AHT=0
其中Hr×n=[111010011010101011001]H_{r \times n}=\begin{bmatrix} 1&1&1&0&1&0&0 \\ 1&1&0&1&0&1&0 \\ 1&0&1&1&0&0&1 \end{bmatrix}Hr×n=⎣⎡111110101011100010001⎦⎤称为监督矩阵
A=[a6a5a4a3a2a1a0]A=[a_6a_5a_4a_3a_2a_1a_0]A=[a6a5a4a3a2a1a0]称为码字
- HHH矩阵与码字的转置乘积必为零，可以用来作为判断接受码字AAA是否出错的依据
- 监督矩阵的性质
  - 监督矩阵HHH确定码组中的信息位和监督位的关系
  - HHH的行数就是监督关系式的数目，即监督位数rrr
  - HHH的每行中“1”的位置表示相应的码元参与监督关系
    HHH可以分成两部分
    Hr×n=[1110∣1001101∣0101011∣001]=[PIr]H_{r \times n}=\begin{bmatrix} 1&1&1&0&|&1&0&0 \\ 1&1&0&1&|&0&1&0 \\ 1&0&1&1&|&0&0&1 \end{bmatrix}=[PI_r ]Hr×n=⎣⎡111110101011∣∣∣100010001⎦⎤=[PIr]为典型监督矩阵
- 典型监督矩阵
  - 将具有[PIr][PI_r][PIr]形式的HHH矩阵称为典型阵
  - HHH矩阵的各行应该是线性无关的，否则将得不到rrr个线性无关的监督关系式
  - 若一个矩阵能写成典型阵形式[PIr][PI_r][PIr]，则其各行一定是线性无关的
生成矩阵
{a2=a6⊕a5⊕a4a1=a6⊕a5⊕a3a0=a6⊕a4⊕a3\begin{cases} a_2=a_6 \oplus a_5 \oplus a_4\\ a_1=a_6 \oplus a_5 \oplus a_3\\ a_0=a_6 \oplus a_4 \oplus a_3 \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧a2=a6⊕a5⊕a4a1=a6⊕a5⊕a3a0=a6⊕a4⊕a3
可以写为
[a2a1a0]=[111011011011][a6a5a4a3]\begin{bmatrix} a_2\\ a_1\\a_0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&1&1&0\\ 1&1&0&1\\ 1&0&1&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_6\\a_5\\a_4\\a_3 \end{bmatrix} ⎣⎡a2a1a0⎦⎤=⎣⎡111110101011⎦⎤⎣⎢⎢⎡a6a5a4a3⎦⎥⎥⎤
上式两端分别转置后，可以变成
[a2a1a0]=[a6a5a4a3][111110101011]=[a6a5a4a3]Q\begin{bmatrix} a_2a_1a_0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a_6a_5a_4a_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&1&1\\ 1&1&0\\ 1&0&1\\ 0&1&1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a_6a_5a_4a_3 \end{bmatrix}Q [a2a1a0]=[a6a5a4a3]⎣⎢⎢⎡111011011011⎦⎥⎥⎤=[a6a5a4a3]Q
QQQ为k×rk \times rk×r阶矩阵，是PPP的转置，即Q=PTQ=P^TQ=PT
将QQQ的左边加上一个kkk阶单位方阵，称为生成矩阵，即
G=[IkQ]=[1000∣1110100∣1100010∣1010001∣011]G= [I_kQ]= \begin{bmatrix} 1&0&0&0&|&1&1&1\\ 0&1&0&0&|&1&1&0\\ 0&0&1&0&|&1&0&1\\ 0&0&0&1&|&0&1&1 \end{bmatrix} G=[IkQ]=⎣⎢⎢⎡1000010000100001∣∣∣∣111011011011⎦⎥⎥⎤
GGG称为生成矩阵，因为可以用它产生整个码组AAA，即有
A=[a6a5a4a3a2a1a0]=[a6a5a4a3]GA=[a_6a_5a_4a_3a_2a_1a_0]=[a_6a_5a_4a_3]GA=[a6a5a4a3a2a1a0]=[a6a5a4a3]G
【知识点】如何由监督矩阵如何产生生成矩阵？
把监督矩阵典型化后，得到了一个Pr×kP_{r \times k}Pr×k阶矩阵，转置后得到Qk×rQ_{k \times r}Qk×r阶矩阵后，前面加一个kkk阶的单位矩阵，就可以得到一个典型化的生成矩阵，信息位和生成矩阵相乘，可以得到整个码组
- 生成矩阵的性质
  - 具有[IkQ][I_kQ][IkQ]形式的生成矩阵称为典型生成矩阵
  - 由典型生成矩阵得出的码组AAA中，信息位的位置不变，监督位附加于其后——系统码
  - 生成矩阵G的各行也必须是线性无关的
    - 任意码组AAA都是GGG的各行的线性组合
    - GGG共有kkk行，若他们线性无关，则可组合出2k2^k2k中不同的码组AAA，它恰好是kkk位信息位的全部码组
    - 若GGG的各行有线性相关的，则不可能由GGG生出2k2^k2k中不同码组
    - 实际上，GGG的各行本身就是一个码组
  - 如果已有kkk个线性无关的码组，则可以将其用来作为生成矩阵GGG，并由它生成其余码组
错误图样
发送码组AAA是一个nnn列的行矩阵：
A=[an−1an2...a1a0]A=[a_{n-1}a_{n_2}...a_1a_0]A=[an−1an2...a1a0]
接受码组是一个nnn列的行矩阵BBB：
B=[bn−1bn−2...b1b0]B=[b_{n-1}b_{n-2}...b_1b_0]B=[bn−1bn−2...b1b0]
令接受码组和发送码组之差位
B−A=EB-A=EB−A=E
EEE就是错码的行矩阵
E=[en−1en−2...e1e0]E=[e_{n-1}e_{n-2}...e_1e_0]E=[en−1en−2...e1e0]，称为错误图样
式中，ei={0,当bi=ai1,当bi≠aie_i=\begin{cases}0,&\text{当}b_i=a_i\\1,&\text{当}b_i \neq a_i \end{cases}ei={0,1,当bi=ai当bi=ai
校正子矩阵
B−A=EB-A=EB−A=E可以改写为B=A+EB=A+EB=A+E
在接受端解码时，将接受码组BBB带入式
AHT=0AH^T=0AHT=0
中AAA的位置进行计算
- 若接受码组中无错码，则B=AB=AB=A。代入后，该式仍成立，即有：BHT=0BH^T=0BHT=0
- 当接受码组有错时，E≠0E \neq 0E=0，将BBB带入AHT=0AH^T=0AHT=0中，该式不一定成立
  - 只有当错码较多，已经超出了这种编码的检测能力时，BBB变为另一许用码组，上式才成立
  - 当错码未超过检错能力时，上式不成立，即其右端不为0。假设此时该式的右端等于SSS，即有
    BHT=SBH^T=SBHT=S
    将B=A+EB=A+EB=A+E代入上式，得到：
    S=(A+E)HT=AHT+EHTS=(A+E)H^T=AH^T+EH^TS=(A+E)HT=AHT+EHT
    上式右端第一项等于0，所以
    S=EHTS=EH^TS=EHT
    将SSS称为校正子。
    当HHH确定后，上式中SSS只与EEE有关，而与AAA无关
    SSS和错码EEE之间有确定的线性变形变换关系。若SSS和EEE有一一对应关系，则SSS将能代表错码位置
线性码的封闭性
若A1A_1A1和A2A_2A2是一种线性码中的两个码组，则仍是其中一个码组
由于线性码具有封闭性，所以两个码组A1A_1A1和A2A_2A2之间的距离（即对应位不同的数目）必定时另一个码组(A1+A2)(A_1+A_2)(A1+A2)的重量（即“1”的数目）。因此，码的最小距离就是码的最小重量（除全“0”码组外）

【例题】已知(7,3)(7,3)(7,3)分组码的监督关系为
{a6+a3+a2+a1=0a5+a2+a1+a0=0a6+a5+a1=0a5+a4+a0=0\begin{cases} a_6+a_3+a_2+a_1=0\\ a_5+a_2+a_1+a_0=0\\ a_6+a_5+a_1=0\\ a_5+a_4+a_0=0 \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧a6+a3+a2+a1=0a5+a2+a1+a0=0a6+a5+a1=0a5+a4+a0=0
求其监督矩阵、生成矩阵、全部码字及纠错能力
解：由监督关系式可写出监督矩阵
H=[1001110010011111000100110001]H=\begin{bmatrix}1&0&0&1&1&1&0\\0&1&0&0&1&1&1\\1&1&0&0&0&1&0\\0&1&1&0&0&0&1 \end{bmatrix} H=⎣⎢⎢⎡1010011100011000110011100101⎦⎥⎥⎤
写成典型监督矩阵
H=[1011000111010011000100110001]=[PIr]H=\begin{bmatrix}1&0&1&1&0&0&0\\1&1&1&0&1&0&0\\1&1&0&0&0&1&0\\0&1&1&0&0&0&1 \end{bmatrix}=[PI_r] H=⎣⎢⎢⎡1110011111011000010000100001⎦⎥⎥⎤=[PIr]
生成矩阵满足关系[a6a5a4a3a2a1a0]=[a6a5a4][IkQ][a_6a_5a_4a_3a_2a_1a_0]=[a_6a_5a_4][I_kQ][a6a5a4a3a2a1a0]=[a6a5a4][IkQ]
生成矩阵为
G=[IkG]=[IkPT]=[100111001001110011101]G=[I_kG]=[I_kP^T]= \begin{bmatrix} 1&0&0&1&1&1&0\\0&1&0&0&1&1&1\\0&0&1&1&1&0&1 \end{bmatrix} G=[IkG]=[IkPT]=⎣⎡100010001101111110011⎦⎤
最小码距d0=4d_0=4d0=4，可纠错1位

扩展汉明码
在汉明码基础上，再加上一位所有码字进行校验的监督位
- 监督码字由rrr增加r+1r+1r+1位
- 信息位不变
- d0=4d_0=4d0=4
  - 码长n=2rn=2^rn=2r，码结构(2r,2r−r−1)(2^r,2^r-r-1)(2r,2r−r−1)
  - 纠1位错，同时检测2位错
  - 如(8,4)(8,4)(8,4)、(16,11)(16,11)(16,11)

(7,4)(7,4)(7,4)汉明码字中至少一个码字重量等于d0=3d_0=3d0=3，加上1位监督位，则d0=4d_0=4d0=4。于是，相应的监督矩阵HHH通过在(7,4)(7,4)(7,4)码的HHH中顶部或底部加1行“1”，右边加1列“0”来构成