信息论复习—线性分组码的基本性质

线性分组码：

非线性码示例：

线性码示例:

许用码字间的距离－－码距：

码距与码的检错纠错能力之间的关系：

线性分组码的基本性质：

线性分组码的最小码距与最小码重的关系：

线性分组码的生成矩阵与监督矩阵：

生成矩阵：

系统码的生成矩阵：

监督矩阵：

方程的矩阵形式：

定义监督矩阵为：

生成矩阵与监督矩阵的有关性质：

错误图样：描述错误及位置的一个矢量：

伴随式(校正子)：

线性分组码的标准阵、陪集首和陪集：

汉明码:

系统码结构的汉明码的构建:

扩展汉明码：

线性分组码的纠错能力分析:

线性分组码：

非线性码示例：

线性码示例：

许用码字间的距离－－码距：

码距与码的检错纠错能力之间的关系：

码字间的最小距离：最小码距定义为：

线性分组码的基本性质：

性质1 若要线性分组码能够检测出任一码字中的小于等于位的误码，则应满足

性质2 若要线性分组码能够检出并纠正任一码字中的小于等于位的误码，则应满足

性质3 若要线性分组码能够检出任一码字中的e 位误码，同时能够纠正其中 t 位的误码，则应满足：

线性分组码的最小码距与最小码重的关系：

线性分组码每个码字中“1”的码元的个数定义为该码字的重量，简称为码重；码字集中码重最小的码字的重量定义为最小码重。

线性分组码的最小码距等于其非零码字的最小码重。

线性分组码的生成矩阵与监督矩阵：

差错控制编码一般可表示为：

特别地，对线性分组码

表示为矩阵形式

生成矩阵：

生成矩阵定义为：

系统码的生成矩阵：

系统码的特点：

系统码的编码输出结构：

监督矩阵：

在线性分组码的码生成方程组中的监督位为

因为

可得

方程的矩阵形式：

定义监督矩阵为：

监督矩阵确定了码字没有错误的必要条件

生成矩阵与监督矩阵的有关性质：

系统码结构的生成矩阵与监督矩阵结构

（1）生成矩阵G中的每一行都是一个许用码字；

（2）生成矩阵G的秩等于k，生成矩阵中的个独立的行向量码字构成码字子空间的一组基；

（3）生成矩阵G和监督矩阵H满足如下的关系

错误图样：描述错误及位置的一个矢量：

对于定义在二元域上的码字，知道了错误的位置等效于知道了错误。

伴随式(校正子)：

1位误码与伴随式之间的关系，1位误码的所有图样：

纠错能力分析：

a、假定只出现1位误码，若收到码字

计算伴随式：

查表可知该伴随式对应错误图样

纠错

获得正确的码字

b、假定出现2位误码，例如收到码字

该码字由许用码字出现2位误码得到。

计算伴随式

查表可知该伴随式对应错误图样

纠错操作

并不能获得正确的码字

出现2位误码时伴随式的计算结果可分解为

与出现错误图样所得的伴随式相同

应为该伴随式已经用于对应1位误码的错误图样，因而不能纠正该2位误码

两位误码已经超出了该分组码的纠错能力范围。

线性分组码的标准阵、陪集首和陪集：

所有可正确译码的接收码字可用如下的矩阵表示：

该矩阵称为线性分组码（n,k）的标准阵。标准阵中第一列的每个元素称为一个陪集首, 标准阵的每一行为该行陪集首所对应的陪集。

综上，对于标准阵中的陪集首，有特定的伴随式与其对应

一般地，记接收码字为

示例：分析生成矩阵如下的(6,3)线性分组码的标准阵等特性

由生成矩阵可得许用码字集为

确定可纠错的误码图样

可纠正的错误图样的选择： (1)具有不同伴随式的图样； (2)通常正常工作的通信系统误码出现少的概率较大，选择可纠正的错误图样通常从1比特的错误图样开始。

标准阵

错误图样与伴随式的关系

汉明码:

如果线性分组码(n,k)满足码字长度，信息位的参数条件，则称这种码为汉明码。

汉明码的编码效率

所以当码字足够长时，汉明码是一种高效码。

汉明码的纠错能力分析:

汉明码码字长度:

信息位长度:

监督位长度:

伴随式个数 :

其中全零的伴随式用于对应无误码的状态

其余的个伴随式可分别对应种错误图样。

因为合理的通信系统设计应使得一个码字中误码位数少的概率大于误码位数大的概率。

因此伴随式应用于对应误码位数少的错误图样。

汉明码长度为。汉明码的非零伴随式全部用于对应1位误码，所以汉明码能纠正所有的1位误码。

系统码结构的汉明码的构建:

监督矩阵共有n列，其中第i列对应码字第i位错误图样的伴随式，系统码结构的监督矩阵右侧的子阵必须是一个单位阵。

监督矩阵的n个不同组合的列除了构成单位阵的n-k列外，其余的k列可任意的排列。确定监督矩阵之后，可得生成矩阵如下

示例：设计一个的汉明码

构建监督矩阵

由此可得

可得生成矩阵：

扩展汉明码：

已知普通汉明码可纠正所有1位误码，所以最小码距

当同时出现第 i 位和第 j 两位不同的误码时，有

因为Sk已经用于对应第 k 位误码的伴随式，因此该伴随式用于纠错时将产生错误。即两位或两位以上误码无法发现，因此

综合上面有关最小码距的关系式，且码距必须为整数，因此

扩展汉明码可通过增加1位编码的监督位长度，使得该码可以纠正任意的1位错误，同时发现任意的2位错误。

扩展汉明码的监督矩阵

其中是原来普通汉明码的监督矩阵。

当出现任意的1位，如第 j 位误码时

伴随式等于监督矩阵的第 j 列，可发现出错并可纠正。

若第 i 和 j 位同时出错，伴随式

其中的最后1位为零。由此可判断出现了2位错误。扩展汉明码通过增加1位监督为，使得码字间的最小距离

线性分组码的纠错能力分析:

汉明界：汉明界确定了一个参数为(n,k)的线性分组码可能获得的最大纠错能力。有关汉明界有如下的定理：

线性分组码(n,k)能够纠正码字中任意的小于等于位误码的图样数小于。

若能够纠正 t 个及以下的全部错误的线性分组码满足条件

则称这种线性分组码为完备码。汉明码是一种完备码。

普洛特金界：普洛特金界确定了线性分组码(n,k)差错控制能力的上限。

线性分组码(n,k)的最小码距dmin小于由下式确定的所谓的普洛特金界