几种反函数和差角公式的推导

已知：tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)
那么令a=arctanm,b=arctann
即m=tana,n=tanb
代入原式：
tan(arctanm+arctann)=(m+n)/(1-mn)
两边同取arctan：
arctanm+arctann=arctan[(m+n)/(1-mn)]
右边裂项得
arctann+arctanm=arctan[m/(1-mn)+n/(1-mn)]
这一步主要目的是将右边拆成两项和，有不同的拆分法，所以最终得到的公式也不只一种。这里只推导其中的一种。
接下来换元，令m/(1-mn)=x,n/(1-mn)=y
下面是在用x,y表示m,n
整理上两式得到：
m+mnx=x (1式),n+mny=y (2式)
在1式中，m=x/(1+nx) ……3式
在2式中，n=y/(1+my) ……4式
将4式代回3式:
m=x/[1+xy/(1+my)]=x(1+my)/(1+my+xy)
整理得到：
my²+m-x=0
于是m=[-1+√(1+4xy)]/2y
同理有n=[-1+√(1+4xy)]/2x
（负根舍去。如果三角函数值是负数，利用三角函数诱导公式化为正数运算即可，有时间的话我会来补充一下。）
再代回上式arctanm+arctann=arctan(x+y),
就得到结果：
arctan(x+y)
= arctan {[-1+√(1+4xy)]/2y}
+arctan{[-1+√(1+4xy)]/2x} （x,y＞0）
这只是一种公式，不是唯一公式
再根据tan(a-b)=(tana-tanb)/1+tanatanb，
以同样的方式推导，可以得到：
arctan(x-y)
=arctan{[-1+√(1-4xy)]/2x}
-arctan{[-1+√(1-4xy)]/2y} (x,y＞0)
此公式运算过程中可能要运用虚数，计算比较麻烦，所以实用性不如前者。
为了让公式更加简洁，我们将同一公式中出现多次的部分用一个字母表示：
若：P=-1+√(1+4xy)
则：arctan(x+y)=arctan(P/2x)+arctan(P/2y)
若：P=-1+√(1-4xy)
则：arctan(x-y)=arctan(P/2x)-arctan(P/2y)
接着用同样的方法推出arcsin(x+y),arccos(x+y)的公式：
设：
Q=x²+y²-2x-2y-2xy+1
P=x²-y²
则：
arcsin(x+y)
=arcsin√[(1+P-√Q)/2]+arcsin√[(1-P-√Q)/2]
arcsin(x-y)
=arcsin√[(1+P-√Q)/2]-arcsin√[(1-P-√Q)/2]
由此还可以得到一个公式：
记√[(1+P-√Q)/2]=M，√[(1-P-√Q/2)]=N
则arcsin(x-y)+arcsin(x+y)=2arcsinM，
arcsin(y-x)+arcsin(y+x)=2arcsinN
对于同样的P、Q，有：
arccos(x+y)
=arccos√[(1+P+√Q)/2]-arccos√[(1+P-√Q)/2]
arccos(x-y)
=arccos√[(1+P+√Q)/2]+arccos√[(1+P-√Q)/2]
由此可得：
记√[(1+P+√Q)/2]=M,√[(1+P-√Q)/2]=N
则：
①M²,N²满足关于a的方程a²-a(P+1)+x²=0
②arccos(x+y)+arccos(x-y)=2arccosM
③arccos(x+y)-arccos(x-y)=-2arccosN
以上均须x,y≥0
由于推导过程几乎一样，这里就不再写了。
本人没有很仔细地研究，加之水平有限，故如有错误，敬请指出。
应用练习：
已知arctan2/3≈0.588，求arctan5近似值
解:arctan5=arctan(2+3)=arctan1+arctan2/3
≈1/8×3.14+0.588=1.373

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