【高等数学】曲率和曲率半径
曲率和曲率半径定义及公式
曲率
曲率是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率,通过微分来定义,表明曲线偏离直线的程度。数学上表明曲线在某一点的弯曲程度的数值。
曲率半径
曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度。曲率半径是曲率的倒数。如,圆上的弯曲度到处都是一样的,所以曲率半径就是圆的半径;直线不是弯曲的,并且与该点直线相切的圆的半径可以任意大,所以直线没有曲率半径,圆的半径越大,形状越小。弯曲度越小,越像直线。因此,曲率半径越大,曲率越小,反之亦然。
高等数学中的应用
曲率和曲率半径可以用来衡量比较曲线之间的弯曲程度。
曲线上某点的曲率半径是该点的密切圆(Osculating circle)的半径。密切圆可能是与曲线在该点相内切的圆中半径最大的(比如在椭圆长轴顶点处),也可能是与曲线在该点相外切的圆中半径最小的(比如在椭圆短轴顶点处),也可能两者都不是。圆越大曲率越小,曲率越小,曲率半径也就越大。
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