DFS序——树链剖分前驱知识

定义：dfs序：每个节点在dfs深度优先遍历中的进出栈的时间序列。

性质：dfs序可以把一棵树区间化，即可以求出每个节点的管辖区间。

对于一棵树的dfs序而言，同一棵子树所对应的一定是dfs序中连续的一段。

dfs序的七个基本问题：

定义：dfs序：每个节点在dfs深度优先遍历中的进出栈的时间序列。

定义两个数组，in[x]，out[x]。dfs从根结点开始，每个结点分别记录两个信息：in[x]，out[x]，in[x]为dfs进入结点x时的时间戳，out[x]为dfs离开结点x时的时间戳。

dfs序的基本代码：
void dfs(int x,int pre,int d){//L,R表示一个子树的范围  L[x]=++tot;  dep[x]=d;  for(int i=0;i<e[x].size();i++){  int y=e[x][i];  if(y==pre)continue;  dfs(y,x,d+1);  }  R[x]=tot;
}

dfs序就是：

性质：dfs序可以把一棵树区间化，即可以求出每个节点的管辖区间。

对于一棵树的dfs序而言，同一棵子树所对应的一定是dfs序中连续的一段。

如下图，DFS之后，那么树的每个节点就具有了区间的性质。

dfs序的七个基本问题：

ps:deep[x]为x的深度，l[x]为dfs序中x的位置，r[x]为dfs序中x子树的结束位置

1.点修改，子树和查询

　　在dfs序中，子树处于一个连续区间中。所以这题可以转化为：点修改，区间查询。用树状数组或线段树即可。

例：poj3321 Apple Tree

链接：邻接表数组实现详解

//dfs序+树状数组
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <string.h>
using namespace std;
const int N = 500005;
struct Edge{ //邻接表——数组实现 (链式前向星)int to,next;
}edge[N];int head[N],tot,d[N];
int in[N],out[N];  //in[i]:dfs第一次进入顶点i的时间戳，in[i]为dfs离开该节点的时间戳
bool have[N];
int cnt;void init(){tot = 0;cnt = 0;memset(head,-1,sizeof(head));memset(d,0,sizeof(d));
}void addEdge(int u,int v,int &k){edge[k].to = v;edge[k].next = head[u];  //edge[k].next存储的是编号为i的边的（同样以u为起始点的）前一条边的编号 head[u] = k++;  //最后一条以u为起始点的边的编号
}void dfs(int u){  //dfs序 in[u] = ++cnt;for(int k=head[u];k!=-1;k=edge[k].next){dfs(edge[k].to);}out[u] = cnt;
}int lowbit(int x){return x&(-x);
}int sum(int x){int res = 0;while(x){res+=d[x];x-=lowbit(x);}return res;
}void update(int x,int v){while(x<=cnt){d[x]+=v;x+=lowbit(x);}
}int main()
{int n,m;while(scanf("%d",&n)!=EOF){init();for(int i=0;i<n-1;i++){int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);addEdge(u,v,tot);}dfs(1);/*for(int i=1;i<=n;i++){printf("%d %d\n",in[i],out[i]);}*/for(int i=1;i<=n;i++){have[i] = 1;update(in[i],1);}int q;scanf("%d",&q);while(q--){char op;int x;scanf(" %c%d",&op,&x);  /*注意字符读入时，前面加上空格，这样可避免回车符的读入  当然字符也可以以字符串的形式读入，取第一个字符，这样前面就无需加空格了*/ //cout<<"op="<<op<<"x="<<endl;if(op=='Q'){printf("%d\n",sum(out[x])-sum(in[x]-1));  //[in[x],out[x]]}else{if(have[x]) update(in[x],-1);else update(in[x],1);have[x] ^= 1;   //have[x] = !have[x];}}}return 0;
}

2.树链修改，单点查询

　　将一条树链x,y上的所有点的权值加v。这个问题可以等价为：

　　1）.x到根节点的链上所有节点权值加v。

　　2）.y到根节点的链上所有节点权值加v。

　　3）.lca（x,y）到根节点的链上所有节点权值和减v。

　　4）.fa(lca(x,y))到根节点的链上所有节点权值和减v。　　

　　上面四个操作可以归结为：节点x到根节点链上所有节点的权值加减v。修改节点x权值，当且仅当y是x的祖先节点时，x对y的值有贡献。

　　所以节点y的权值可以转化为节点y的子树节点贡献和。从贡献和的角度想：这就是点修改，区间和查询问题。

　　修改树链x,y等价于add(l[x],v),add(l[y],v),add(l[lca(x,y)],-v),add(l[fa(lca(x,y))],-v)。

　　查询：get_sum(r[x])-get_sum(l[x]-1)

　　用树状数组或线段树即可。

3.树链修改，子树和查询

　　树链修改部分同上一问题。下面考虑子树和查询问题：前一问是从贡献的角度想，子树和同理。

　　对于节点y其到根节点的权值和，考虑其子节点x的贡献：w[x]*(deep[x]-deep[y]+1) = w[x]*(deep[x]+1)-w[x]*deep[y]

　　所以节点y的子树和为：

　　ps:公式中的v[i]为手误，应为w[i]。

　　所以用两个树状数组或线段树即可：

　　　　第一个维护∑w[i]*(deep[i]+1):支持操作单点修改，区间和查询。（这也就是问题2）

　　　　第二个维护∑ w[i]：支持操作单点修改，区间查询。（这其实也是问题2）

4.单点更新，树链和查询

　　树链和查询与树链修改类似，树链和(x,y)等于下面四个部分和相加：

　　1）.x到根节点的链上所有节点权值加。

　　2）.y到根节点的链上所有节点权值加。

　　3）.lca（x,y）到根节点的链上所有节点权值和的-1倍。

　　4）.fa(lca(x,y))到根节点的链上所有节点权值和的-1倍。

　　所以问题转化为：查询点x到根节点的链上的所有节点权值和。

　　修改节点x权值，当且仅当y是x的子孙节点时，x对y的值有贡献。

　　差分前缀和，y的权值等于dfs中[1,l[y]]的区间和。

　　单点修改：add(l[x],v),add(r[x]+1,-v);

5.子树修改，单点查询

　　修改节点x的子树权值，在dfs序上就是区间修改，单点权值查询就是单点查询。

　　区间修改，单点查询问题：树状数组或线段树即可;

6.子树修改，子树和查询

　　题目等价与区间修改，区间查询问题。用树状数组或线段树即可。

7.子树修改，树链查询

　　树链查询同上，等价为根节点到y节点的链上所有节点和问题。

　　修改节点x的子树权值，当且仅当y是x的子孙节点时（或y等于x），x对y的值有贡献。

　　x对根节点到y节点的链上所有节点和的贡献为：w[x]*(deep[y]-deep[x]+1)=w[x]*deep[y]-w[x]*(1-deep[x])

　　同问题三，用两个树状数组或线段树即可。

参考文章：树 DFS序详解[完全版]

初学dfs序

DFS序详解

dfs序的七个基本问题来源如下

作者：weeping
出处：www.cnblogs.com/weeping/
本文版权归作者和博客园共有，欢迎转载，但未经作者同意必须保留此段声明，且在文章页面明显位置给出原文连接，否则保留追究法律责任的权利。