奈奎斯特采样定理—以二维图像为例

前言

本节中，结合《Image Processing,Analysis,and Mechine Vision》这本书对信号采样中的奈奎斯特定理作一个简单的证明，并且以2D图像为例进行阐释。

证明过程

假设一个图像在点x=jΔx,y=kΔy,forx=j\Delta x,y=k \Delta y,\rm{for}x=jΔx,y=kΔy,for j=1,...Mj=1,...Mj=1,...M并且k=1,...,Nk=1,...,Nk=1,...,N，因此在xxx轴和yyy轴上两个相邻采样点的间隔分别为Δx\Delta xΔx和Δy\Delta yΔy，该离散图像可以表示为f(jΔx,kΔy)f(j\Delta x,k \Delta y)f(jΔx,kΔy).我们也可以使用满足Dirac分布δ\deltaδ集来表示规则网格中的理想采样函数s(x,y)s(x,y)s(x,y).
s(x,y)=∑j=1M∑k=1Nδ(x−jΔx,y−kΔy)(1)s(x,y) = \sum_{j=1}^{M} \sum_{k=1}^{N} \delta(x-j\Delta x,y-k\Delta y) \text { (1)} s(x,y)=j=1∑Mk=1∑Nδ(x−jΔx,y−kΔy) (1)
采样后的图像fs(x,y)f_s(x,y)fs(x,y)就是原始图像f(x,y)f(x,y)f(x,y)与采样函数s(x,y)s(x,y)s(x,y)的乘积：
fs(x,y)=f(x,y)s(x,y)=f(x,y)∑j=1M∑k=1Nδ(x−jΔx,y−kΔy)(2)f_s(x,y)=\left. f(x,y)s(x,y) \right. \\ = \left. f(x,y) \sum_{j=1}^{M} \sum_{k=1}^{N} \delta(x-j\Delta x,y-k\Delta y)\right. \text { (2)} fs(x,y)=f(x,y)s(x,y)=f(x,y)j=1∑Mk=1∑Nδ(x−jΔx,y−kΔy) (2)
我们可以假设一个无限周期采样网格Δx,Δy\Delta x,\Delta yΔx,Δy，其傅里叶展开式为：
F{∑j=−∞∞∑k=−∞∞δ(x−jΔx,y−kΔy)}=1ΔxΔy∑j=−∞∞∑k=−∞∞δ(u−mΔx,v−nΔy)(3)\mathcal F \lbrace \sum_{j=-\infty}^{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(x-j\Delta x,y-k\Delta y) \rbrace = \frac{1}{\Delta x\Delta y}\sum_{j=-\infty}^{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(u-\frac{m}{\Delta x},v-\frac{n}{\Delta y}) \text { (3)} F{j=−∞∑∞k=−∞∑∞δ(x−jΔx,y−kΔy)}=ΔxΔy1j=−∞∑∞k=−∞∑∞δ(u−Δxm,v−Δyn) (3)
公式(1)(1)(1)的傅里叶变换为：
Fs(u,v)=1ΔxΔy∑j=−∞∞∑k=−∞∞F(u−mΔx,v−nΔy)(4)F_s(u,v) = \frac{1}{\Delta x\Delta y}\sum_{j=-\infty}^{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty}F(u-\frac{m}{\Delta x},v-\frac{n}{\Delta y}) \text { (4)} Fs(u,v)=ΔxΔy1j=−∞∑∞k=−∞∑∞F(u−Δxm,v−Δyn) (4)
因此，采样图像的傅里叶变换是原始图像傅立叶变换的周期叠加。下面我们考虑一个一维带限信号，其频率∣f∣<fm|f|<f_m∣f∣<fm，采样之后其傅里叶变换如下图所示，要想频带不发生混叠，fs>2fmf_s>2f_mfs>2fm.

对于2D信号，若想最终的信号不发生混叠，则
Δx<12U,Δy<12V,U和V指两个方向上的最大频率\Delta x <\frac{1}{2U},\Delta y <\frac{1}{2V},U和V指两个方向上的最大频率 Δx<2U1,Δy<2V1,U和V指两个方向上的最大频率

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