浮点数是我们在编程中常用的一个数据类型，不知道大家想过没有，它为什么叫做float呢？

还有，计算机对浮点数的内部表示方法IEEE 874到底是怎么回事？

要彻底理解浮点数，需要从计算机的底层存储开始。

假设有一个32 bit的计算机，需要你来设计一个支持存储“小数”的方案，你会怎么办呢？

定点数

最简单的办法就是把这32位存储分成若干部分， 例如三个部分

(1) 用1位来表达正负位， 0为正， 1为负。

(2) 再划出8位来表示整数部分

(3) 剩下的23位表示小数部分。

就像这样：

上图表示的数值就是182.375，由于小数点固定在了第23位和第24位之间，这种方式可以称为“定点数”。

很明显，由于整数部分的长度比较短，所能表示的数据的范围就比较小。 小数部分比较长， 所能表示的精度就比较高。

我们暂时把这种数据类型叫做fixed number A 。

如果想要表达更大范围的数怎么办？ 我们还可以定义一个新的数据类型： fixed number B。 让整数部分扩大一些。

用23位表示整数，这范围比8位大多了， 但是精度又会受到损失了，可见用这种定点数的表示法，范围和精度是一对儿矛盾。

如果再定义fixed number C, fixed number D， 程序员简直就不知道用哪个了， 并且实现他们之间的计算也很麻烦。

所以定点数并不是完美的解决方案。

浮点数

怎么解决定点数的“僵化”问题呢？

我们都知道科学记数法，例如368.79 用科学计数法表示就是 3.6879 * 10 ^2 。

其中3.6879就是尾数，10 是基数， 2 是指数。

浮点数就是利用指数达到了小数点“浮动”的效果。从而可以灵活地表达更大范围内的数, 比如 :

3.6879 * 10 ^ 2 = 368.79

1.2345 * 10 ^ 3 = 1234.5

7.89 * 10 ^ 2 = 789

小数点的位置是不固定的。

不过对于同一个浮点数，也有很多表达方式， 368.79 可以表达为：

3.6879 * 10 ^ 2

0.36879 * 10 ^ 3

36.879 * 10 ^ 1

由于其多样性， 很多计算机厂商都设计了自己的表示浮点数的规则，以及对浮点数运算的细节。 多样的规则对于程序的可靠性和移植性都是不利的。

1976年， 一家叫Intel的公司要设计一个叫做8087的芯片， 这个芯片在8086处理器（这可是大名鼎鼎的芯片啊，计算机系的同学估计很熟悉吧）上增加了支持浮点数的功能。 他们请加州大学伯克利分校的William Kahan教授作为顾问，帮助设计8087芯片。

Intel 还支持Kahan教授加入IEEE资助的制定工业标准的委员会， 最终这个委员会采纳的标准非常接近于Kahan为Intel设计的标准，这就是大名鼎鼎的 IEEE 754 标准。

（码农翻身注：这段描述来自于《深入理解计算机系统》）

该标准在1985年发布，成为了各个计算机厂商都支持的规范，大大提高了程序的可移植性。

最新的标准是2008年发布的 IEEE 754-2008 。

William Kahan教授

IEEE 754

这个标准中有单精度(32位）和双精度（64位）， 我们以32位为例来介绍一下，理解了32位，64位就不在话下了。

用科学记数法表示，应该是这样的：

(+ or - ) 1.(mantissa) * 2 ^ exponent

注意：小数点前面是有个1的。

我们接下来用一个例子来计算一下， 把5.8 这个10进制小数转换为IEEE 754表示的浮点数。

首先，5.8 = 1.45 * 2 ^ 2，可能有人问，这是怎么算出来的？ 很简单：

5.8/2 => 2.9

2.9/2 => 1.45

接下来就可以把他表示成IEEE 754的形式：

(1) 可以看出 符号位 s = 0

(2) 指数(exponent) 是2 吗？

No!  指数也有正负之分，我们既要能用8位二进制数字表示正数，又要能表示负数。

所以2的8次方这256个数字要区分开来使用： 从0到127 表示负数， 从128到255表示正数。

127 被称为 Bias  value (偏置值)

所以exponent = 127 + 2 = 129 ， 把129用二进制表示就是10000001。

（注：如果原始的指数是 - 2 ， 那exponent 就是 127- 2 = 125）

（3） 尾数mantissa 是0.45 ， 需要转化成二进制，怎么做呢？ 也很简单，不断地乘2，取结果的整数部分就行，详细过程如下：

可以看出，出现无限循环了，我们取够IEEE 754要求的23位就行了（0.01 1100 1100 1100 1100 1100 1......），可见浮点数是不精确的！

最终，我们把5.8变成了符合IEEE 754 规范的浮点数表示：

很简单的，对吧？

敏锐的同学可能已经看出问题了，这个尾数总是1.mantissa的形式， 那用这种方式怎么才能表示零呢？

这就留作一个小问题让大家去探索吧， 你会发现非规格化，无穷大，NaN等有趣的东西。

（完）

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