php判断无理数,关于e是无理数的证明

在数学中，我们把极限

$$\lim_{x->\infty}(1+1/x)^x$$

记为e，并且可以计算出e=2.7182818284590452353602...，这是一个与π同等重要的数(甚至有些书认为它比π更重要)。和π一样，这个数也是一个“无理数”。现在我们来证明一下假设$e=p/q$是有理数，其中p,q是正整数。根据e的麦克劳林展开式，我们有：

$$p/q=e=1+1/2+1/{3!}+...+1/{q!}+\varphi^{q+1}/{(q+1)!}\tag{1}$$$$p/q-(1+1/2+1/{3!}+...+1/{q!})=\varphi^{q+1}/{(q+1)!}\tag{2}$$

其中$\varphi \in(0,1)$

于是，我们将(2)两边同时乘上q!，在左边得到了一个整数，而右边=$\varphi^{q+1}/{(q+1)}$为非整数，于是两者并不相等。这与两者相等矛盾！于是假设并不成立，e是无理数。

这个通过麦克劳林展开式是一个相对简单的证明，当然前提是要懂得e的麦克劳林展开式。相对于维基百科上提供的证明来说，我觉得这个证明相对简洁、直观！

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苏剑林. (Oct. 17, 2009). 《关于e是无理数的证明》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/196

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