POJ - 2065 SETI(高斯消元解方程(取模))

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题目大意：给出一个质数作为 mod，再给出一个字符串，每个字母对应着一个数字：

' * ' = 0
' a ' = 1
' b ' = 2
...
' z ' = 26

假设字符串长度为 n，题目给出了 n 个线性同余方程需要求解

$a_0*1^0 + a_1*1^1+a_2*1^2+........+a_{n-1}*1^{n-1} = f(1)(mod\ p) , f(1) = s[0]$
$a_0*2^0 + a_1*2^1+a_2*2^2+........+a_{n-1}*2^{n-1} = f(2)(mod\ p), f(2) = s[1]$
...
$a_0*n^0 + a_1*n^1+a_2*n^2+........+a_{n-1}*n^{n-1} = f(n)(mod\ p),f(n) = str[n-1]$

题目分析：因为未知数和方程组的个数都不是很多，所以直接套上模

//#pragma GCC optimize(2)
//#pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
//#pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
using namespace std;typedef long long LL;typedef unsigned long long ull;const LL inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;const int N=110;int a[N][N];//增广矩阵
int x[N];//解集
bool free_x[N];//标记是否是不确定的变元
inline int gcd(int a,int b)
{int t;while(b!=0){t=b;b=a%b;a=t;}return a;
}
inline int lcm(int a,int b)
{return a/gcd(a,b)*b;//先除后乘防溢出
}
// 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，
//-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数)
//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,分别为0到equ-1,列数为var+1,分别为0到var.
int Gauss(int equ,int var,int MOD)
{int i,j,k;int max_r;// 当前这列绝对值最大的行.int col;//当前处理的列int ta,tb;int LCM;int temp;int free_x_num;int free_index;for(int i=0;i<=var;i++){x[i]=0;free_x[i]=true;}//转换为阶梯阵.col=0; // 当前处理的列for(k = 0;k < equ && col < var;k++,col++){// 枚举当前处理的行.
// 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差)max_r=k;for(i=k+1;i<equ;i++){if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col])) max_r=i;}if(max_r!=k){// 与第k行交换.for(j=k;j<var+1;j++) swap(a[k][j],a[max_r][j]);}if(a[k][col]==0){// 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列.k--;continue;}for(i=k+1;i<equ;i++){// 枚举要删去的行.if(a[i][col]!=0){LCM = lcm(abs(a[i][col]),abs(a[k][col]));ta = LCM/abs(a[i][col]);tb = LCM/abs(a[k][col]);if(a[i][col]*a[k][col]<0)tb=-tb;//异号的情况是相加for(j=col;j<var+1;j++){a[i][j] = ((a[i][j]*ta-a[k][j]*tb)%MOD+MOD)%MOD;}}}}// 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).for (i = k; i < equ; i++){ // 对于无穷解来说，如果要判断哪些是自由变元，那么初等行变换中的交换就会影响，则要记录交换.if ( a[i][col]  != 0) return -1;}// 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵.// 且出现的行数即为自由变元的个数.if (k < var){// 首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个.for (i = k - 1; i >= 0; i--){// 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况，因为这样的行是在第k行到第equ行.// 同样，第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况，这样的无解的.free_x_num = 0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数，如果超过1个，则无法求解，它们仍然为不确定的变元.for (j = 0; j < var; j++){if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j;}if (free_x_num > 1) continue; // 无法求解出确定的变元.// 说明就只有一个不确定的变元free_index，那么可以求解出该变元，且该变元是确定的.temp = a[i][var];for (j = 0; j < var; j++){if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j]%MOD;temp=(temp%MOD+MOD)%MOD;}while(temp%a[i][free_index]!=0)temp+=MOD;x[free_index] = (temp / a[i][free_index])%MOD; // 求出该变元.free_x[free_index] = 0; // 该变元是确定的.}return var - k; // 自由变元有var - k个.}// 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.// 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.for (i = var - 1; i >= 0; i--){temp = a[i][var];for (j = i + 1; j < var; j++){if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];temp=(temp%MOD+MOD)%MOD;}while (temp % a[i][i] != 0) temp+=MOD;x[i] =( temp / a[i][i])%MOD ;}return 0;
}int q_pow(int a,int b,int mod)
{int ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*a%mod;a=a*a%mod;b>>=1;}return ans;
}char s[N];int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.ans.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);int w;cin>>w;while(w--){int mod;scanf("%d",&mod);scanf("%s",s);int n=strlen(s);for(int i=0;i<n;i++){if(s[i]=='*')a[i][n]=0;elsea[i][n]=s[i]-'a'+1;for(int j=0;j<n;j++)a[i][j]=q_pow(i+1,j,mod);}Gauss(n,n,mod);for(int i=0;i<n-1;i++)printf("%d ",x[i]);printf("%d\n",x[n-1]);}return 0;
}

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