点在多边形内外的判断【计算几何】

点在多边形内外的判断有两种处理方法：射线法和转角法

一、射线法：

从这一点出发，引向无穷远点的一条射线，根据交点情况确定点的位置
特点：特殊情况不易处理

以要判断的点为起点，任做一条射线，计算该射线与多边形的交点的数目
若有偶数个交点，则点在多边形外；否则，点在多边形内
若与线段所在的端点处重合或相交，则要进行复杂的判断；此时可另取一条射线

二、转角法：

计算多边形每条边的转角，最后相消为0，则点在多边形内部，否则点在多边形外部
特点：三角形运算时间开销大

把多边形每条边的转角加起来：如果是360度，则点在多边形内；如果是0度，点在多边形外；如果是180度，则点在多边形边上；
直接求角度要用反三角函数，精度差且费时
如果是凸多边形，就用叉积

例题：POJ 1410 Intersection 判断线段交和点在矩形内

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <map>
#include <vector>
#include <set>
#include <string>
#include <math.h>using namespace std;
const double eps = 1e-8;
int sgn(double x)
{if(fabs(x) < eps)return 0;if(x < 0)return -1;else return 1;
}
struct Point
{double x,y;Point(){}Point(double _x,double _y){x = _x;y = _y;}Point operator -(const Point &b)const{return Point(x - b.x,y - b.y);}//叉积double operator ^(const Point &b)const{return x*b.y - y*b.x;}//点积double operator *(const Point &b)const{return x*b.x + y*b.y;}//绕原点旋转角度B（弧度值），后x,y的变化void transXY(double B){double tx = x,ty = y;x = tx*cos(B) - ty*sin(B);y = tx*sin(B) + ty*cos(B);}
};
struct Line
{Point s,e;double k;Line(){}Line(Point _s,Point _e){s = _s;e = _e;k = atan2(e.y - s.y,e.x - s.x);}//两条直线求交点，//第一个值为0表示直线重合，为1表示平行，为2是相交//只有第一个值为2时，交点才有意义pair<int,Point> operator &(const Line &b)const{Point res = s;if(sgn((s-e)^(b.s-b.e)) == 0){if(sgn((s-b.e)^(b.s-b.e)) == 0)return make_pair(0,res);//重合else return make_pair(1,res);//平行}double t = ((s-b.s)^(b.s-b.e))/((s-e)^(b.s-b.e));res.x += (e.x-s.x)*t;res.y += (e.y-s.y)*t;return make_pair(2,res);}
};
//两点间距离
double dist(Point a,Point b)
{return sqrt((a-b)*(a-b));
}
//判断线段相交
bool inter(Line l1,Line l2)
{returnmax(l1.s.x,l1.e.x) >= min(l2.s.x,l2.e.x) &&max(l2.s.x,l2.e.x) >= min(l1.s.x,l1.e.x) &&max(l1.s.y,l1.e.y) >= min(l2.s.y,l2.e.y) &&max(l2.s.y,l2.e.y) >= min(l1.s.y,l1.e.y) &&sgn((l2.s-l1.s)^(l1.e-l1.s))*sgn((l2.e-l1.s)^(l1.e-l1.s)) <= 0 &&sgn((l1.s-l2.s)^(l2.e-l1.s))*sgn((l1.e-l2.s)^(l2.e-l2.s)) <= 0;
}
//判断点在线段上
bool OnSeg(Point p,Line L)
{returnsgn((L.s-p)^(L.e-p))==0&&sgn((p.x-L.s.x)*(p.x-L.e.x))<=0&&sgn((p.y-L.s.y)*(p.y-L.e.y))<=0;
}//判断点在凸多边形内，点形成一个凸包，而且按逆时针排序
//如果是顺时针，就把<0改成>0
//点的编号：0~n-1
//返回值：-1点在凸多边形外，0点在凸多边形边上，1点在凸多边形内
int inConvexPoly(Point a,Point p[],int n)
{for(int i=0;i<n;i++){if(sgn((p[i]-a)^(p[(i+1)%n]-a))<0)return -1;else if(OnSeg(a,Line(p[i],p[(i+1)%n])))return 0;}return 1;
}//判断点在任意多边形内
//射线法，poly[]的顶点数要大于等于3，点的编号：0~n-1
//返回值
//-1：点在多边形外
//0：点在多边形边界上
//1：点在多边形内
int inPoly(Point p,Point poly[],int n)
{int cnt=0;Line ray,side;ray.s=p;ray.s.y=p.y;ray.e.x=-100000000000.0;//-INF,注意取值，防止越界for(int i=0;i<n;i++){side.s=poly[i];side.e=poly[(i+1)%n];if(OnSeg(p,side))   return 0;//如果平行轴，则不考虑if(sgn(side.s.y-side.e.y)==0)continue;if(OnSeg(side.s,ray)){if(sgn(side.s.y-side.e.y)>0)cnt++;}else if(OnSeg(side.e,ray)){if(sgn(side.e.y-side.s.y)>0)cnt++;}else if(inter(ray,side))cnt++;}if(cnt%2==1)return 1;elsereturn -1;
}

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